推理與證明綜合測試題
一、選擇題
1.分析法是從要證明的結論出發,逐步尋求使結論成立的( )
a.充分條件必要條件充要條件等價條件
答案:a
2.結論為:能被整除,令驗證結論是否正確,得到此結論成立的條件可以為( )
且為正奇數為正偶數
答案:c
3.在中,,則一定是( )
a.銳角三角形直角三角形鈍角三角形不確定
答案:c
4.在等差數列中,若,公差,則有,類經上述性質,在等比數列中,若,則的乙個不等關係是( )
答案:b
5.(1)已知,求證,用反證法證明時,可假設,
(2)已知,,求證方程的兩根的絕對值都小於1.用反證法證明時可假設方程有一根的絕對值大於或等於1,即假設,以下結論正確的是( )
a.與的假設都錯誤
b.與假設都正確
c.的假設正確;的假設錯誤
d.的假設錯誤;的假設正確
答案:d
6.觀察式子:,,,,則可歸納出式子為( )
a.b.
c.d.
答案:c
7.如圖,在梯形中,.若,到與的距離之比為,則可推算出:.試用
模擬的方法,推想出下述問題的結果.在上面的梯形中,延長梯形兩腰相交於點,設,
的面積分別為,且到與的距離之比為,則的面積與的關係是( )
答案:c
8.已知,且,則( )
答案:b
9.用反證法證明命題:若整係數一元二次方程有有理根,那麼中至少有乙個是偶數時,下列假設中正確的是( )
a.假設都是偶數
b.假設都不是偶數
c.假設至多有乙個是偶數
d.假設至多有兩個是偶數
答案:b
10.用數學歸納法證明,從到,左邊需要增乘的代數式為( )
答案:b
11.模擬「兩角和與差的正余弦公式」的形式,對於給定的兩個函式,,,其中,且,下面正確的運算公式是( )
①;②;
③;④;
答案:d
12.正整數按下錶的規律排列
則上起第2005行,左起第2006列的數應為( )
答案:d
二、填空題
13.寫出用三段論證明為奇函式的步驟是 .
答案:滿足的函式是奇函式, 大前提
, 小前提
所以是奇函式結論
14.已知,用數學歸納法證明時,等於 .
答案:15.由三角形的性質通過模擬推理,得到四面體的如下性質:四面體的六個二面角的平分面交於一點,且這個點是四面體內切球的球心,那麼原來三角形的性質為 .
答案:三角形內角平分線交於一點,且這個點是三角形內切圓的圓心
16.下面是按照一定規律畫出的一列「樹型」圖:
設第個圖有個樹枝,則與之間的關係是 .
答案:三、解答題
17.如圖(1),在三角形中,,若,則;若模擬該命題,如圖(2),三稜錐中,面,若點在三角形所在平面內的射影為,則有什麼結論?命題是否是真命題.
解:命題是:三稜錐中,面,若點在三角形所在平面內的射影為,則有是乙個真命題.
證明如下:
在圖(2)中,鏈結,並延長交於,鏈結,則有.
因為面,,所以.
又,所以.
於是.18.如圖,已知已知矩形所在平面,分別是的中點.
求證:(1)平面;(2).
證明:(1)取的中點,鏈結.
分別為的中點.
為的中位線,
,,而為矩形,
,且.,且.
為平行四邊形,,而平面,平面,
平面.(2)矩形所在平面,
,而,與是平面內的兩條直交直線,
平面,而平面,
.又,.
19.求證:當乙個圓和乙個正方形的周長相等時,圓的面積比正方形的面積大.
證明:(分析法)設圓和正方形的周長為,依題意,圓的面積為,正方形的面積為.
因此本題只需證明.
要證明上式,只需證明,
兩邊同乘以正數,得.
因此,只需證明.
上式是成立的,所以.
這就證明了如果乙個圓和乙個正方形的周長相等,那麼圓的面積比正方形的面積最大.
20.已知實數滿足,,求證中至少有乙個是負數.
證明:假設都是非負實數,因為,
所以,所以,,
所以,這與已知相矛盾,所以原假設不成立,即證得中至少有乙個是負數.
21.設,(其中,且).
(1)請你推測能否用來表示;
(2)如果(1)中獲得了乙個結論,請你推測能否將其推廣.
解:(1)由,
又,因此.
(2)由,即,
於是推測.
證明:因為,(大前提).
所以,,,(小前提及結論)
所以.22.若不等式對一切正整數都成立,求正整數的最大值,並證明結論.
解:當時,,即,
所以.而是正整數,所以取,下面用數學歸納法證明:.
(1)當時,已證;
(2)假設當時,不等式成立,即.
則當時,有.
因為,所以,
所以.所以當時不等式也成立.
由(1)(2)知,對一切正整數,都有,
所以的最大值等於25.
推理與證明綜合測試題
一、選擇題
1.下面使用的模擬推理中恰當的是( )
a.「若,則」模擬得出「若,則」
b.「」模擬得出「」
c.「」模擬得出「」
d.「」模擬得出「」
答案:c
2.圖1是乙個水平擺放的小正方體木塊,圖2,圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的,按照這樣的規律放下去,至第七個疊放的圖形中,小正方體木塊總數就是( )
a.256691120
答案:c
3.推理「①正方形是平行四邊形;②梯形不是平行四邊形;③所以梯形不是正方形」中的小前提是( )
和②答案:b
4.用數學歸納法證明等式時,第一步驗證時,左邊應取的項是( )
a.1答案:d
5.5.在證明命題「對於任意角,」的過程:
「」中應用了( )
a.分析法綜合法分析法和綜合法綜合使用間接證法
答案:b
6.要使成立,則應滿足的條件是( )
a.且且
c.且且或且
答案:d
7.下列給出的平面圖形中,與空間的平行六面體作為模擬物件較為合適的是( )
a.三角形梯形平行四邊形矩形
答案:c
8.命題「三角形中最多只有乙個內角是鈍角」的結論的否定是( )
a.有兩個內角是鈍角有三個內角是鈍角
c.至少有兩個內角是鈍角 d.沒有乙個內角是鈍角
答案:c
9.用數學歸納法證明能被8整除時,當時,對於可變形為( )
答案:a
10.已知扇形的弧長為,所在圓的半徑為,模擬三角形的面積公式:底高,可得扇形的面積公式為( )
不可模擬
答案:c
11.已知已知,,,則以下結論正確的是( )
大小不定
答案:b
12.觀察下列各式:,,,,,可以得出的一般結論是( )
a.b.
c.d.
答案:b
二、填空題
13.已知,則中共有項.
答案 :
14.已知經過計算和驗證有下列正確的不等式,,
,根據以上不等式的規律,請寫出對正實數成立的條件不等式 .
答案:當時,有
15.在數列中,,,可以猜測數列通項的表示式為 .
答案:16.若三角形內切圓的半徑為,三邊長為,則三角形的面積等於,根據模擬推理的方法,若乙個四面體的內切球的半徑為,四個面的面積分別是,則四面體的體積 .
答案:三、解答題
17.已知是整數,是偶數,求證:也是偶數.
證明:(反證法)假設不是偶數,即是奇數.
設,則.
是偶數,
是奇數,這與已知是偶數矛盾.
由上述矛盾可知,一定是偶數.
18.已知命題:「若數列是等比數列,且,則數列也是等比數列」.模擬這一性質,你能得到關於等差數列的乙個什麼性質?並證明你的結論.
解:模擬等比數列的性質,可以得到等差數列的乙個性質是:若數列是等差數列,則數列也是等差數列.
證明如下:
設等差數列的公差為,則,
所以數列是以為首項,為公差的等差數列.
19.已知,且,求證:.
證明:因為,且,
所以,,要證明原不等式成立,只需證明r,
即證,從而只需證明,
即,因為,,
所以成立,故原不等式成立.
20.用三段論方法證明:.
證明:因為,所以(此處省略了大前提),
所以(兩次省略了大前提,小前提),
同理,,,
三式相加得.
(省略了大前提,小前提)
21.由下列不等式,,,,,你能得到乙個怎樣的一般不等式?並加以證明.
解:根據給出的幾個不等式可以猜想第個不等式,即一般不等式為:
.用數學歸納法證明如下:
(1)當時,,猜想成立;
(2)假設當時,猜想成立,即,
則當時,
,即當時,猜想也正確,所以對任意的,不等式成立.
22.是否存在常數,使得等式對一切正整數都成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
解:假設存在,使得所給等式成立.
令代入等式得解得
以下用數學歸納法證明等式對一切正整數都成立.
(1)當時,由以上可知等式成立;
(2)假設當時,等式成立,即,
則當時,
.由(1)(2)知,等式結一切正整數都成立.
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