練習：1、「等邊對等角」是哪個定理的簡寫，請寫出，並且證明。
2、「等角對等邊」是哪個定理的簡寫，請寫出，並且證明。
3、證明：等邊三角形的三個角都相等，並且每個角都等於60°
4、兩個等腰三角形的頂角和底邊對應相等，那麼這兩個三角形全等嗎？請在證明你的結論。
5、證明：等腰三角形兩底角的平分線相等。（兩腰上的中線，高也分別相等）
6、證明：在直角三角形中，如果有乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
7、命題「在直角三角形中，如果一條直角邊等於斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的銳角等於30°」是真命題嗎？如果是，請你證明。
8、勾股定理的證明，九年級上冊p19，讀一讀。
9、①敘述三角形全等的判定方法中的hl
②證明上述定理。
10、三角形三條邊的垂直平分線交於______,並且相等。（證明它的合理性）
先做邊ab，邊ac的垂直平分線，交於一點e，從e點向bc邊做垂線，於bc邊交於f，這樣只要證明三角形bef和cef全等就可以了。因為be=ae=ce，ef公用，三角形bef和cef為直角三角形，所以，全等，ef平分bc
所以交於e點
11、三角形三條角平分線交於______,並且相等。（證明它的合理性）
1. 下列說法正確的有（ ）
（1）乙個銳角及斜邊對應相等的兩個直角三角形全等.
（2）乙個銳角及一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.
（3）兩個銳角對應等的兩個直角三角形全等.
（4）有兩條邊相等的兩個直角三角形全等.
（5）有斜邊和條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.
a. 2個 b. 3個 c. 4個 d. 5個
2. 下列說法中錯誤的是（ ）
a. 直角三角形中，任意直角邊上的中線小於斜邊.
b. 等腰三角形斜邊上的高等於斜邊的一半.
c. 直角三角形中每條直角邊都小於斜邊.
d. 等腰直角三角形一邊長為1，則它的周長為
3、命題：等腰三角形兩腰上的高相等的逆命題是
4、如圖，兩個平面鏡α，β的夾角為θ，入射光線ao平行於β入
射到α上，經兩次反射後的反射光線cb平行於α，則∠α等於（）
a．30o b．45 o c．60 o d．90 o
5、（2013遂寧）如圖，在△abc中，∠c=90°，∠b=30°，以a為圓心，任意長為半徑畫弧分別交ab、ac於點m和n，再分別以m、n為圓心，大於mn的長為半徑畫弧，兩弧交於點p，鏈結ap並延長交bc於點d，則下列說法中正確的個數是（ ）
①ad是∠bac的平分線；②∠adc=60°；③點d在ab的中垂線上；④s△dac：s△abc=1：3．
6、（2013咸寧）如圖，在平面直角座標系中，以o為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸於點m，交y軸於點n，再分別以點m、n為圓心，大於mn的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交於點p．若點p的座標為（2a，b+1），則a與b的數量關係為（ ）
7、（2013萊蕪）在平面直角座標系中，o為座標原點，點a的座標為（1，），m為座標軸上一點，且使得△moa為等腰三角形，則滿足條件的點m的個數為（ ）
8、（2013昆明）在平面直角座標系xoy中，已知點a（2，3），在座標軸上找一點p，使得△aop是等腰三角形，則這樣的點p共有個
9、（2013紹興）如圖鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架，若ap1=p1p2=p2p3=…=p13p14=p14a，則∠a的度數是 ．
10、（2013涼山州）已知實數x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是 ．
11、（2013寧夏）如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，∠a=α，將△abc繞點c按順時針方向旋轉後得到△edc，此時點d在ab邊上，則旋轉角的大小為 ．
12、（2013益陽）如圖1，在△abc中，∠a=36°，ab=ac，∠abc的平分線be交ac於e．
（1）求證：ae=bc；
（2）如圖（2），過點e作ef∥bc交ab於f，將△aef繞點a逆時針旋轉角α（0°＜α＜144°）得到△ae′f′，鏈結ce′，bf′，求證：ce′=bf′；
（3）在（2）的旋轉過程中是否存在ce′∥ab？若存在，求出相應的旋轉角α；若不存在，請說明理由．
13、閱讀下面的題目及分析過程，並按要求進行證明．
已知：如圖，e是bc的中點，點a在de上，
且∠bae=∠cde．
求證：ab=cd
分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同乙個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此，要證ab=cd，必須新增適當的輔助線，構造全等三角形或等腰三角形．
現給出如下三種新增輔助線的方法提示，請任意選擇其中一種，對原題進行證明．
14、三條公路圍成了乙個三角形區域，今要在這個三角形區域內建一果品批發市場到這三條公路的距離相等，試找出批發市場的位置.
15、（1） 如圖，在△abc中，∠a=400,o是ab.ac的垂直平分線的交點，求∠ocb的度數；
（2） 如果將（1）中的的∠a度數改為700，其餘的條件不變，再求∠ocb的度數；
（3） 如果將（1）中的的∠a度數改為銳角a，其餘的條件不變，再求∠ocb的度數.你發現了什麼規律？請證明；
（4） 如果將（1）中的的∠a度數改為鈍角a，其餘的條件不變，是否還存在同樣的規律？你又發現了什麼？
16、已知線段a.b，求作以a為底，以b為高的等腰三角形.
ab17、（2013紹興）如圖，矩形abcd中，ab=6，第1次平移將矩形abcd沿ab的方向向右平移5個單位，得到矩形，第2次平移將矩形沿的方向向右平移5個單位，得到矩形…，第n次平移將矩形沿的方向平移5個單位，得到矩形（n＞2）
（1）求和的長．
（2）若的長為56，求n．
拔尖題18、(2023年江西)某數學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：
[操作發現]
在等腰三角形abc中，ab＝ac，分別以ab和ac為斜邊，向△abc的外側作等腰直角三角形，如圖4247(1)，其中df⊥ab於點f，eg⊥ac於點g，m是bc的中點，連線md和me，則下列結論：①af＝ag＝ab；②md＝me；③整個圖形是軸對稱圖形；④∠dab＝∠dmb.其中正確的是填序號即可)．
[數學思考]
在任意△abc中，分別以ab和ac為斜邊，向△abc的外側作等腰直角三角形，如圖4247(2)，m是bc的中點，連線md和me，則md和me具有怎樣的數量和位置關係？請給出證明過程．
[模擬探索]
在任意△abc中，仍分別以ab和ac為斜邊，向△abc的內側作等腰直角三角形，如圖4247(3)，m是bc的中點，連線md和me，試判斷△med的形狀．
答(123)
圖4247
18解：[操作發現]①②③④
[數學思考]md＝me，md⊥me.證明如下：
圖18①md＝me.
如圖18，分別取ab，ac的中點f，g，連線df，mf，mg，eg，
∵m是bc的中點，
∴mf∥ac，mf＝ac.
又∵eg是等腰直角三角形aec斜邊上的中線，
∴eg⊥ac，且eg＝ac.
∴mf＝eg.
同理可證df＝mg.
∵mf∥ac，
∴∠mfa＋∠bac＝180°.
同理可得∠mga＋∠bac＝180°.
∴∠mfa＝∠mga.
又∵eg⊥ac，∴∠ega＝90°.
同理可得∠dfa＝90°.
∴∠mfa＋∠dfa＝∠mga＋∠ega，
即∠dfm＝∠mge.又mf＝eg，df＝mg，
∴△dfm≌△mge(sas)．∴md＝me.
②md⊥me.
如圖18，設md與ab交於點h，
∵ab∥mg，∴∠dha＝∠dmg.
又∵∠dha＝∠fdm＋∠dfh，
即∠dha＝∠fdm＋90°.
∵∠dmg＝∠dme＋∠gme，∴∠dme＝90°.
即md⊥me.
[模擬**]等腰直角三角形
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