線性代數複習之二證明題
一、(8分) 設方陣a滿足,證明可逆，並求的逆陣。
證明： (3分)
所以， 得6分)
故可逆，且的逆陣為8分)
二、(5分) 已知，證明：
證明：因為 (1分)
3分)又因為得證5分)
三、（8分）設a為n階矩陣，、、是a的不同特徵值，、、依次是屬於、、的特徵向量，試證明不是a的特徵向量.
證明： 假設是a的特徵向量。
即存在使得2分）
故，即4分)
因為、、線性無關，所以6分)
即，與題設矛盾， 故不是a的特徵向量。 (8分)四、（5分）設三階實對稱矩陣的特徵值為；，分別是矩陣屬於特徵值的特徵向量，求屬於特徵值3的特徵向量。
解：設屬於特徵值3的特徵向量為，則有
（2分） 化簡得：
解此齊次線性方程組的基礎解系， (4分)因此屬於特徵值3的特徵向量為，為任意非零常數。 （5分）五、（15分）求向量組，，，
的乙個極大無關組，並用這個極大無關組表示其它向量。
解：（3分）（6分）（9分）
故為乙個極大無關組， （12分）
且 （15分）
六、（6分）設a、b均是對稱陣，b和e+ab都可逆，求證：是對稱陣證明：由b和e+ab都可逆，得
（2分）
又，所以
4分）6分）
故是對稱陣
七、（11分）已知向量組線性無關，試證向量組線性無關。
證明一：設存在數，使，即
整理得已知向量組線性無關，故，求解該方程組得，所以向量組線性無關。（這是我們書上證明的方法）證明二：由條件可得5分）
記，，，即
因，知可逆，故8分）
由線性無關，所以線性無關11分）
八、（6分）設為奇數階可逆矩陣，且，，求
解：設為（奇數）階可逆矩陣，由得於是
2分）再由（4分）
得，所以6分）
九、（15分）已知向量組線性相關，求k
解：3分） （7分11分）
當k-2=0時，即k=213分）
秩a=2<3，此時向量組線性相關 （15分）十、（6分）設為階非零矩陣，當時，證明
證明：，
1分）假設，則， （3分）
設的行向量，
則，矛盾， （5分）
故. （6分）
十一、（15分）求向量組的乙個極大無關組，並用這個極大無關組表示其餘向量
解： 3分） （6分9分）
所求的乙個極大無關組為， （12分） 且 （15分）十二、（6分）設為階非零矩陣，，證明可逆
證明：設，由，故 （2分）
而，不妨設，於是 （4分）
（5分）
平行線證明題
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