上海市張江中學（201203） 唐曉虎
上海初中數學新教材的特色之一是打破平面幾何的公理體系，將平面幾何大致分成直觀幾何、實驗幾何和論證幾何。其編者意圖一方面是為了順利實現幾何的入門教學，另一方面通過實驗幾何中學生的動手操作去發現幾何知識並進一步發現解決幾何問題的方法。教學中如果能利用好這部分內容對於提高學生的數學素質將很有裨益。
由於實驗幾何又以線段或直線的平移、基本圖形的旋轉與翻摺為核心，而這部分內容對於幾何證明題中的輔助線新增又有著非常密切的關係。因為我們可以通過圖形運動把幾何題中分散的條件匯聚到乙個基本圖形或者通過圖形運動把題目中不很明朗的、比較隱蔽的條件明朗化。本文試圖通過圖形運動的三種基本形式對平面幾何證明題中的輔助線新增作點探索，拋磚以期引玉。
一、線段或直線的平移
平移的特徵是把線段或直線從乙個地方移動到另乙個地方，通過平移可以將圖形中一些分散的條件匯集到一起，也可以把不太明朗的關係明朗化。特別是對於有些條件比較隱蔽的幾何題，往往能起到「柳暗花明又一村」的效果。由於線段或直線在平移過程中保持著線段的長短和角的大小不變，這一結論對於將題目中的有用條件集中到一起從而能比較容易的新增出輔助線以達到解題的目的很有好處。
例１、如圖一，在梯形abcd 中，∠a+∠b=90°，ab∥cd，m、n分別是ab、cd 的中點，求證：mn=（ab－cd）。
分析：觀察本題的已知條件∠ａ＋∠ｂ＝90°中的∠ａ、∠ｂ分別為梯形的兩個底角不利於這一條件的應用。比較理想的是將這兩個角放到乙個三角形中，從而可以利用直角三角形的有關性質來解決。
又考慮到通過線段的平移可以將乙個角從乙個位置移動到另乙個位置，這樣，就想到過ｄ點作ｂｃ的平行線ｄｐ。也就是將線段ｂｃ平移到線段ｄｐ，可以得到自此不難發現（ab—cd）＝ap。而ap為直角三角形adp的斜邊，要證mn＝ap，只要證ｍｎ等於ａｐ邊上的中線，因此，想到取線段ap的中點g並鏈結dg，這樣只要證明ｄｇ=mn，只需證明四邊形dgmn為平行四邊形就可以了。
這由gm=am－ag=（ab－ap）=bｐ＝cd=dn及ab∥cd即可證明。
證明從略。
例２、求證：兩中線相等的三角形是等腰三角形。
已知：如圖二，△abc中，ｄ、ｅ分別是ab、ac的中點，be＝cd。
求證：ab＝ac。
分析：本題中的be＝cd不能直接應用，而證明ab＝ac的基本思路是證明∠abc=∠acb,因此只需證明△bce≌△cbd,只需證明∠ebc=∠dcb,要證明這兩個角相等就需要把這兩個角中的乙個進行移動。考慮到線段的平移能把乙個角從乙個地方移動到另乙個地方，故過ｅ點作ｃｄ的平行線並和bc的延長線相交於f,從而把∠ｂｃｄ平移到∠ｃｆｅ位置。
只需證明ｅｆ＝ｃｄ，而鏈結ｄ、ｅ後，de∥bc，容易證明四邊形ｄｃｆｅ為平行四邊形，從而原命題可證。
證明從略。
例３、由平行四邊形abcd的頂點作它的高ae、af，已知ef＝ａ，ac＝ｂ（如圖三），求點ａ到△aef的三條高的交點ｈ的距離。
分析：若從已知條件直接求ａｈ相當困難。而題目中的基本圖形是平行四邊形，平行關係較多，如ｅｈ∥ｃｄ、fh∥ce∥ag等等,因此可以考慮將圖中的某些線段進行平移。
故將ae平移到cg。這一平移既保持了cg=ae，又有cg⊥ad。從而eg=ac，由於四邊形hecf為平行四邊形，四邊形aecg為矩形，所以hf=ce=ag，從而四邊形ahfg為平行四邊形，ah=fg，又ah⊥ef，gf∥ah，△efg為直角三角形，所以ａｈ＝ｇｆ＝＝。
本題的解題關鍵是將ａｅ平移到ｃｇ並由此得到若干個相等線段和平行四邊形，由此可見，線段或直線的平移對於幾何題中的輔助線新增有著非常重要的作用。
證明從略。
二、圖形的旋轉
圖形的旋轉是把圖形的一部分或全部繞著乙個確定的點從乙個位置移動到另乙個位置。通過旋轉可以把題目中一些不明朗的關係明朗化，它的最大特點是在旋轉過程中旋轉部分兩點之間的距離不變、兩直線間的夾角不變和對應直線的夾角等於旋轉角。它的使用範圍一般是等腰三角形或中心對稱圖形。
有時再結合基本輔助線新增更能體現其在新增輔助線中的優勢。
例４、如圖四，已知△abc中，點m是bc邊上的中點，過m作∠bac的平分線ad的平行線交ab於e，交ca的延長線於f點。
求證：be=cf
分析：這一題的已知條件中有m是線段bc的中點，
即點m為線段bc的對稱中心，同時考慮到相似三角
形中的基本圖形「8」字形，故可將△fmc繞中點 m
旋轉180°，這時線段cf也由原來的位置移動到線段
bn位置，而bn、e同在△ben中，只要證明△ben
為等腰三角形即可。而∠ｎ＝∠ｆ，∠bem=∠fea，
只要證明∠fea=∠f。又∠f=∠cad，∠fea=∠bad，ad又是角平分線，從而此題可證。此題的解題關鍵在於將線段cf旋轉到線段bn，從而將要證明相等的兩條線段集中到乙個三角形中，而這一考慮正是基於點m為線段bc的中點（對稱中心），因此，有中心對稱圖形的幾何題的輔助線新增不妨仿此一試。
證明從略。
例5、設p為等邊三角形abc內的一點，且pa=5，pb=4，pc=3，求此等邊三角形的邊長。
分析：如圖五，本題的難度在於已知的pa、pb、pc是分散的，難以直接利用，因此必須新增輔助線。又由於△abc為等邊三角形，從而可以考慮到利用旋轉法來新增輔助線。
但將那一部分旋轉又怎樣怎樣旋轉呢？注意到ca=cb=ab，因而將△acp繞c點按逆時針旋轉60°，點a到達點b，點p到達點d，即△acp≌△bcd， 此時△pcd是等邊三角形。pd=3，bd=ap=5，pb=4，根據勾股定理的逆定理知∠bpd=90°。
過b點作cp的垂線交cp的延長線於e。∠bpe=180從而ce=3+2這樣可以通過直角三角形cbe的斜邊長求出三角形abc的邊長。
證明從略。
例6、在等腰直角三角形abc中e、d分別是直角邊bc、ac上的點，且ce=cd。過c、d作ae的垂線交斜邊ab於l、k，求證：bl=lk。
分析：如圖六，欲證bl=lk，由於三角形abc為等腰直角三角形，即ca=cb，因此可以將直角三角形cae繞c點旋轉90°得到直角三角形cbf。這時點a、d、c、e在一條直線上且有cf=ce=cd，因此只要證明bf∥lc∥kd，只要證明∠fbc=∠lcb，而∠fbc=∠eac，只要證明∠lcb=∠eac，這一點利用同角的餘角相等即可得到該結論。
證明從略。
三、圖形的翻摺
翻摺就是將圖形中的一部分沿著一條直線進行翻摺。通過翻摺可以構造出軸對稱圖形並充分利用軸對稱圖形的性質進行解題。例如等腰三角形、等腰梯形等等。
它的基本特點是各個對稱點到對稱軸的距離相等，因此利用圖中的已知相等線段並以其對稱軸為對稱軸構造軸對稱圖形是一種常見的輔助線新增方法。
例７、如圖七，已知：△abc中，ad為∠bac的平分線，ef為ad的垂直平分線 ，ef、bc交於f，求證：df2=fc×fb。
分析：這個題目中既有角平分線又有線段的垂直平分線，它們分別是這兩個基本圖形的對稱軸，若要翻摺將那一部分翻摺？結合結論中的線段df、fc、fb都在一條直線上證明起來很不方便，因此考慮到將△dfe沿著直線ef（ef為線段ad的對稱軸）翻摺。
故鏈結a、f。這時，只要證明af2=fc×fb，只要證明△acf∽△abf，只要證明∠fac=∠fba。由於fa=fd，所以∠fad=∠fda，∠adf=∠b+∠bad，∠fad=∠fad+∠cad，而∠bad=∠cad為已知，故命題得證。
證明從略。
例8、如圖八，已知△abc中，ab＞ac，ad平分∠bac，p是ad上任一點，求證：ab
分析：由於p點在∠bac的平分線上，直線ap是∠bac的對稱軸。又因為線段ab、ac、pb、pc在圖中相對分散，因此可將△abp沿著直線ad翻摺得到△aep。
這時，ae=ab，pe=pb，ab－ac=ae－ac=ce。因此只要比較pe－pc與ce的大小，而這一點在△pce中是顯然的。
證明從略。
例9、如圖九，在等腰直角三角形abc中，e、f分別是底邊bc上的兩點，且∠eaf=45°。求證：以be、ef、fc 為邊的三角形為直角三角形。
分析：線段be、ef、fc在一條直線上，要證明它們能組成直角三角形，關鍵是將它們移到乙個三角形中以便於找到其邊或角之間的關係。所以將△acf沿著直線af翻摺得到△adf，這時df=cf，考慮到移動的目的，鏈結de並期望著de=be。
故想到證明△abe≌△ade。因為∠caf=daf，所以∠dae=∠bae。又ad=ac=ab，故△abe≌△ade。
∠ade=∠b=45°，而∠adf=∠c=45°，所以△edf為直角三角形。即be、ef、fc組成直角三角形。本題的翻摺主要著眼於要將三條線段be、ef、fc移到乙個三角形中。
證明從略。
圖形運動與輔助線新增關係非常密切，恰當的運用圖形運動方法有時能起到事半功倍的效果。對於有些特殊圖形甚至幾種方法都能湊效。例如，例九中還可以將△acf繞a點順時針旋轉90°來得到△abd（如圖十）並通過證明△bde為直角三角形證明這一命題。
只要能抓住圖形的基本特徵，運用圖形運動來新增輔助線一般來說是有一定的效果的。
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