2023年安徽省高三物理公式證明題總複習
在安徽省近三年的高考中都出現了證明題，所以畢當引起14年考生的重視。在物理考試說明的題型示例中，也出現了公式證明題。在解這類問題時，要有一定的文字說明，首先必須交待所用的每個物理量的含義，其次要分析過程，並說明所用的物理概念或規律。
下面給出的是高中物理公式證明題總複習的示例，希望各位同學能夠自己仔細去推敲。
【例1】證明運動學中的幾個推論
設物體做勻變速運動，初速度為v0，末速度為vt，加速度為a，運動時間為t，中間時刻的速度為vt/2，中間位置的速度為vs/2，證明：
12.3.vt2-vo2=2as
4.δs=at2
[證明]1．根據運動學公式：vt=vo+at, s=vot+at2/2,
中間時刻的速度：vt/2=vo+at/2
平均速度：
又(v0+vt)/2=(v0+v0+ at)/2= vo+at/2,
所以 2．vt2-vo2=2as……（1） vs/22-vo2=2a(s/2)……（2)
(1)/(2):vs/22=(vo2+vt2)/2,
所以有 3.根據vt=vo+at, 得：t=(vt-vo)/a,把t代入
s=vot+at2/2, 得：vt2-vo2=2as
4.從第乙個t秒開始時計時，在該時刻t=0,速度為v0，有：
s1=v0t+at2/2, s2=（v0+at）t+at2/2, s3=（v0+2at）t+at2/2,……
sn=[v0+（n-1）at]t+at2/2,
s2 -s1= s3 –s2=……=δs=at2
【例2】證明機械能守恆定律：在只有重力做功的情形下，物體的動能和重力勢能發生相互轉化，但總的機械能保持不變．
證明：如圖所示，取地面為零勢能點，設物體只受重力作用，
向下做自由落體運動。在位置1時速度為v1，高度為h1，
在位置2時速度為v2，高度為h2
由勻加速運動公式可得：v22-v12 = 2g(h1-h2)
v12+2gh1 = v22+2gh2
mv12/2+mgh1 = m v22/2+mgh2
【例3】證明動能定理：合外力對物體所做的功等於物體動能的增加．
證明：設乙個質量為m的物體原來的速度為v1，動能為mv12/2，在恆定的合外力f的作用下，發生一段位移s，速度為v2，動能增加到mv22/2，設合外力方向與運動方向相同.
由運動學公式v22-v12 =2as得：s = (v22-v12)/2a
合外力f做的功w = fs，根據牛頓第二定律f = ma
所以fs = ma(v22-v12)/2a = mv22/2- mv12/2
或w = ek2- ek1
【例4】證明：導體切割磁感線產生的電動勢ε= blv.
證明一：如圖所示，假設垂直水平軌道放置的導體棒長l，以速度v在軌道上向右運動，設在δt時間內棒由原來的位置ab移到cd，這時線框的面積變化量δs = lvδt
穿過閉合電路的磁通量變化量：δφ= bδs = blvδt
由法拉第電磁感應定律：ε=δφ/δt,將上式代入得：
導體切割磁感線產生的電動勢：ε= blv
證明二：如圖所示，假設導體棒長l，以垂直導體棒的速度v水平向右
運動，有一垂直紙面向裡的勻強磁場磁感應強度大小為b
由左手定則可知：棒中自由電子e受洛侖茲力f = evb作用向下運動，
使棒上下端產生電勢差ε，形成的電場強度大小為e =ε/l
當f = ee 時，棒中產生穩定的電動勢：ε= blv
【例5】求證：電流與自由電子定向移動速率的關係式i=nesv．
證明：如圖所示,設對一段導線通以強度為i的電流，導線截面積為s，電子定向移動速率為v，單位體積內自由電子數為n，通電時間為t
則在這段時間內，自由電子定向移動的距離為l = vt
通過導線截面的電量為q = env = ensl = nesvt
所以電流為i = q/t = nesv
【例6】證明：洛侖茲力公式f = qvb.
證明：設導線中單位體積內含有的自由運動電荷數是n，每個自由電荷的電量是q，自由電荷的平均定向移動速率是v，導線的橫截面積是s，那麼通過導線的電流就是 i = nqvs
磁場對電流的作用力是f=ilb．這個力可看作是作用在每個自由運動電荷上的洛侖茲力的合力，設洛侖茲力為f，這段導線內自由運動電荷的總數為n，則
nf = f，即nf = ilb
代入i = nqvs，得到nf = nqvslb
又n等於單位體積內的運動電荷數跟體積的乘積，即n = nsl
因此上式簡化為f = qvb
【例7】證明：萬有引力定律f = gmm/r2
證明：設有兩個孤立物體質量分別為m、m，相距較遠間距為r，m繞m作勻速圓周運動週期為t
m對m的萬有引力f提供向心力：f = m(2π/t)2r
由克卜勒第三定律： r3/ t2 = 常數
由①②得：f = (2π)2m( r3/ t2) /r2即f∝m/r2 ③
由牛頓第三定律可知：m對m的萬有引力大小也為f，且具有相同的性質
所以，m對m的萬有引力f∝m/r2
綜合③④得：f∝mm/r2
萬有引力定律f = gmm/r2 (其中g為引力常量)
【例8】(1)試在下述簡化情況下，由牛頓定律和運動學公式匯出動量定理表示式：乙個運動質點只受到乙個恒力作用，沿直線運動。要求說明推導過程中每步的根據，以及最後結果中各項的意義．
解：(1)如圖所示,一物體放在光滑的水平面上,設在恒力f的作用下,
開始時物體的初速度為v1,經過t時間後,物體的速度變為v2
由牛頓第二定律得： ①
由運動學公式得: ②
由①②可得:,由此式變形得:
式中:表示物體在t時間內物體受到合外力的衝量；表示物體在這段時間的末動量；表示物體在這段時間的初動量
【例8】．求證：半徑公式r=mv/bq，週期公式t=2πm/bq
證明：如圖所示，設一帶電粒子質量為m，帶電量為q，勻強磁場的磁感強度為b，粒子做勻速圓周運動的向心力為洛侖茲力，即 fn=qvb=mv2/r
所以運動半徑為r=mv/bq． 根據週期公式t=2πr/v,將r=mv/bq代入得
帶電粒子的運動週期為t=2πm/bq．
【例9】如圖所示，彈簧的一端固定在牆上.另一端鏈結一質量為的木塊，今將木塊向右拉開一位移l後釋放，木塊在有摩擦的水平地面上減幅振動.彈簧第一次恢復原長時，木塊速度為，試討論：
木塊在整個振動過程中出現速度為的位置有幾個.
分析和證明：在整個振動過程中出現速度為的位置有且只有2個.
釋放木塊後，木塊在水平方向上的彈力和摩擦力同時作用下，先向左作加速度變小的加速運動.後向左作加速度變大的減速運動.在彈簧原長位置的右側處（），一定存在一加速度為零的位置（平衡位置），此位置向左的速度最大.
根據速度變化必須是連續的原理可知，既然左側有一，其右側也一定存在一的位置.
在彈簧第一次恢復原長，木塊速度為時，系統振動的能量，此後的運動由於摩擦的作用，系統振動能量不斷減小，，設此後振動中任一時刻的速率為
即所以＜，且不斷變小，直至停止振動為止.
【例10】如圖1 所示：一根導體棒oa 長度為l，電阻不計，繞o 點在垂直於勻強磁場b 的平面內以角速度ω做勻速圓周運動，求其產生的電動勢。
解法一：假想電路法
假想導體棒與乙個定值組成閉合迴路（如圖2 所示），利用法拉第電磁感應定律公式求解。此公式在高中階段一般用於求感應電動勢的平均值，不用來求瞬時值，但本題中棒切割磁感線的角速度恆定，產生的感應電動勢大小也是定值，故平均值與瞬時值相同，可以用此公式求金屬棒產生電動勢的瞬時值。假設棒與某個電阻r 組成了乙個閉合迴路，經過時間△t，棒轉過了角度θ，則閉合電路的磁通量增加量為：
由楞次定律可知，閉合電路的磁通量在增大，感應電流的磁場應垂直紙面向外。如果形成感應電流，則方向由o→a，故電動勢的方向o→a，a 點電勢高於o 點電勢，a 點相當於電源的正極。
解法二：利用法拉第電磁感應公式的匯出公式e=blv 求解。
由於桿上各點的線速度都不相同，並且各點的線速度大小正比於該點到o點的距離。o點速度為零，a點速度最大，為ωl，則整個杆的平均速度為2ωl，相當於棒中點瞬時速度的大小。產生的電動勢
由右手定則可以判斷電動勢的方向為o→a，a 點的電勢高於o 點的電勢，即a 點相當於電源的正極。
由於解法二比較簡潔，故以下拓展在不涉及能量轉化問題時均用解法二。
【例11】質量為m的物體與地心的距離為r時，物體和地球間引力勢能可表示為（設物體在離地球無限遠處的勢能為零），其中g為引力常量，m為地球質量。當物體在地球表面的速度等於或大於某一速度時，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽運動的人造行星，這個速度叫做第二宇宙速度。證明：
第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關係為v2=v1。
【例12】：設計物理情境用牛頓運動定律推導動量守恆公式。
如下圖所示，在光滑的水平面上做勻速直線運動的兩個小球，質量分別為和，沿著同乙個方向運動，速度分別為和（且），則它們的總動量(動量的向量和)。當第二個球追上第乙個球並發生碰撞，碰撞後的速度分別為和，此時它們的動量的向量和，即總動量。下面從動量定理和牛頓第三定律出發討論p和p′有什麼關係。
【推導過程】：根據牛頓第二定律，碰撞過程中兩球的加速度分別是：，
根據牛頓第三定律，f1、f2大小相等、方向相反，即：f1= - f2
所以：碰撞時兩球之間力的作用時間很短，用表示，這樣，加速度與碰撞前後速度的關係就是：，
把加速度的表示式代入，並整理得：
上述情境可以理解為：以兩小球為研究物件，系統的合外力為零，系統在相互作用過程中，總動量是守恆的——即動量守恆表示式。
下面留幾個問題給同學回歸課本自己再思考，並希望能夠動筆自己嘗試去推導：
（1）摩擦生熱公式的推導證明：
（2）月球第二宇宙速度的推導和證明：
（3）閉合電路中輸出功率隨外電阻的變化關係公式的推導，以及當內外電阻相等時有最大功率，最大功率的值是多少。
（4）證明電場力做功與路徑無關，只與初末位置的電勢差有關。
（5）在機車啟動過程中去證明瞬時功率的表示式。
（6）證明單擺在角度很小的情況下，才能認為是簡諧運動？
（7）推導斜拋運動的軌跡方程和水平射程表示式。
高三物理公式證明題總複習
內容精講 在高考物理考試說明的題型示例中，出現了公式證明題。在解這類問題時，要有一定的文字說明，首先必須交待所用的每個物理量的含義，其次要分析過程，並說明所用的物理概念或規律。下面給出的是高中物理公式證明題總複習的示例。一 證明運動學中的幾個推論 設物體做勻變速運動，初速度為v0，末速度為vt，加速...
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