2009中考特招訓練營（二）
與圓有關的證明
一、兩弧相等的證明
【知識要點】
證明兩弧相等，方法多樣靈活，一般包括：
（1）找出第三條弧，證明兩條弧分別都與這條相等.
（2）利用垂徑定理及其推論.
（3）利用平行弦所夾的弧相等來證明.
（4）利用在同圓或等圓中，弧所對應的圓心角、圓周角、弦、弦心距相等來證明.
【典型例題】
例1．如圖1,已知ab是半圓的直徑,過點b作bn垂直弦ef的延長線於n,bn交半圓於點c.求證:ae=fc.
例2．已知:如圖2,a是⊙o上的一點,割線pc交⊙o於b、c兩點，d是pc上的一點，且pd是pb和pc的比例中項，pd=pa，鏈結ad並延長交⊙o於點e.求證：be=ce.
【同類練習】
1．已知：如圖3，cf是⊙o的直徑，cb為⊙o的弦，cb的延長線與過點f的⊙o和切線交於點p.若點e為bc上一點，且滿足pe=pb·pc，鏈結fe並延長交⊙o於點a.
求證：ba=ac.
二、弧的倍分問題證明.
【知識要點】
證明弧的倍分問題的方法大致有兩種：一是證明長弧所對的圓心角（或圓周角）是短弧所對的圓心角（或圓周角）的幾倍.另一種是證明若分成等份後，其中的乙份與短弧相等.
【典型例題】
例1．如圖4，ab是⊙o的直徑，c是⊙o上一點，d是ba延長線上一點，co=cd，dc的延長線交⊙o於e，求證：eb=3ca.
三、圓中線段相等的證明.
【知識要點】
除了利用三角形、四邊形等的有關性質外，證明圓中兩條線段相等的方法和定理還有：
（1）圓中等弧所對的弦相等；
（2）圓中等弦心距的弦相等，等弦的弦心距相等；
（3）垂徑定理；
（4）切線長定理；
（5）相交兩圓的連心線平分公共弦.
【典型例題】
例1．已知：如圖5，在△abc中，ad平分∠bac交△abc的外接圓o於d點，交bc於m點，gh是經過點m的弦，且∠amc=∠amg，直徑af交gh於p，求證：gp=ph.
【同類訓練】
1．如圖6，ab、cd是兩條互相垂直的直徑，又兩弦ae、cf垂直相交於點m.求證：cf=ae.
四、圓中角相等的證明
【知識要點】
根據圓的有關性質定理證明角相等的方法有：
（1）等弧所對的圓心角相等；
（2）同弧或等弧所對的圓周角相等；
（3）弦切角等於所夾的弧所對的圓周角；
（4）圓內兩弦的夾角等於其所截相對兩弧所對圓周角的和；
（5）圓的兩割線（或切線）所成的角等於其所截相對兩弧所對圓周角的差；
（6）圓內接四邊形的外角等於內對角；
（7）圓外一點與圓心的連線平分過這點所引圓的切線的夾角.
例1．如圖7，設ab為⊙o的直徑，cd為切線，切點為c，ad⊥cd，求證：∠bac=∠cad.
例2．如圖8，⊙和⊙內切於點p，過點p的直線交⊙於點d，交⊙於點e，da與⊙相切，切點為c，求證：pc平分∠apd.
【同類訓練】
1．如圖9，△abc內接於⊙o，be與⊙o相切於點b，d是⊙o上的一點，ad的延長線交be於e，ab be=ae dc.求證：bd是∠cbe的平分線.
2．如圖10，ad是⊙o的切線，d是切點，abc是⊙o的割線，de⊥ao於e，
求證：∠aeb=∠aco.
五、圓中等積式的證明
【知識要點】
證明圓中等積式的方法通常有以下幾種：
（1）利用相似三角形的對應邊成比例證明．
（2）利用圓冪定理證明．
（3）利用建立起來的等積式，進行線段代換，得出所證的等積式．
（4）證明等積式兩邊兩線段的乘積都等於第三個某兩線段乘積．
【典型例題】
例1．如圖11，已知：rt△abc中，∠acb=90°，d為bc邊上一點，以bd為直徑作⊙o，交ab於e，ce交⊙o於f，bf的延長線交ac於g．求證：gf ac=fc ae．
【同類練習】
1．如圖12，△abc是⊙o的內接三角形，且bf=fc，af交bc於d，ce∥af交⊙o於g，ae是⊙o的切線，求證：．
2．如圖13，⊙o的直徑ab的延長線與弦cd的延長線相交於點p，e為⊙o上一點，ae=ac，de交ab於點f，求證：．
3．如圖14，已知bc為半圓的直徑，ad與半圓相切於點d，在ab上擷取ae=ad，過e作ef⊥ab，交ac的延長線於點f，過f作gf∥bc交ab的延長線於點g．
求證：（1）ae:ab=ac:af；（2）．
六、圓中兩直線平行的證明
在圓中證明兩直線平行，主要是依據圓的有關性質轉化角等，求邊角關係．
例1．如圖15，⊙o的兩條弦ab、cd相交於點e，在bc的延長線上取一點p，過p作切線，切⊙o於點f，且pf=pe．求證：pe∥ad．
例2．如圖16，四邊形abcd是平行四邊形，經過a、c的圓分別交ab、cd、ad的延長線於點e、f、g、h，鏈結ef、gh．求證：ef∥gh．
【同類練習】
1．如圖17，已知pt是⊙o的切線，t為切點，過pt的中點m作割線交⊙o於點a、b，鏈結pa、pb，並延長交⊙o於點d、c，求證：pt∥cd．
七、圓中兩條直線垂直的證明
在圓中，證明兩條直線互相垂直的方法主要有以下幾個：
（1）平分弦（或弧）的直徑必垂直於該弦．
（2）過切點的半徑垂直於切線．
（3）直徑所對的圓周角是直角．
（4）相交兩圓的連心線垂直於公共弦．
（5）兩相切圓的連心線垂直於過切點的公切線．
例1．已知：如圖1，⊙o的直徑ab與弦cd相交於g，e是cd延長線上的一點，鏈結ae交⊙o於f．若．求證：ab⊥cd．
【同類練習】
1．如圖4，△abc中，ab=ac，以ab為直徑的半圓o交ac於e，交bc於d，過點e作半圓的切線ef，交od的延長線於點f，鏈結fb．求證：ab⊥fb．
2．如圖5，⊙o內接四邊形abcd中，延長ab、dc交於e，且∠e=∠adb，af是⊙o的直徑．求證：af⊥cd．
3．如圖7，⊙與⊙相切於點c，它們的外公切線ab（a、b為切點）交的延長線於點p．
求證：（1）ac⊥bc；（2）．
【作業】日期姓名完成時間成績
1．已知：ab是⊙o的直徑，m是oa上的點，弦pq經過點m，並且pm=mo，求證：3ap=bq.
2．如圖2，已知p是⊙o外一點，pa、pb分別切⊙o於點a、b，op與ab相交於點m，c為ab上一點，求證：∠opc=∠ocm.
3．如圖3，at切⊙o於t，adb交⊙o於d、b，bc是⊙o的的直徑，在ab上
擷取ae=at，過e作ab的垂線ef，交ac的延長線於f，
求證：．
4．如圖4，四邊形abcd是⊙o的內接四邊形，ba、cd的延長線交於e，fg切⊙o於g，且與cb的延長線交於f．若fg=fe，求證：ad∥fe．
5．如圖5，ab是⊙o 的直徑，p是⊙o外一點，pa切⊙o於a，割線pcb交⊙o於點c、b，m是bc的中點，am交pb於e，pd是∠apb的平分線．求證：pd⊥am．
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