故：a，b，c，p四點共面。
4可以先隨便假設其中3點共面(很簡單2點確定一條直線，直線和直線外一點可以確定1個平面) 不防設 a b c 三點共面只需證明p點在這個平面上即可以下向量符號省去
證明： pa=ba-bp=oa-ob-(op-ob)=oa-op=oa-(a 向量oa+b向量ob+c向量oc )=(1-a)oa-bob-coc=(b+c)oa-bob-coc=bba+cca
到這裡因為abc已經確定了乙個平面且 pa=bba+cca
所以pa平行平面又a在平面內所以p點也在該平面內，所以四點共面
如果兩個向量a. b不共線，則向量p與向量a.b共面的充要條件是存在有序實數對(x.y),使 p=xa+yb
使得op=xoa+yob+zoc 說明：若x+y+z=1 則pabc四點共面 （但pabc四點共面的時候，若o在平面abp內，則x+y+z不一定等於1，即x+y+z=1 是p.a.
b.c四點共面的充分不必要條件）
證明： 1）唯一性：
設另有一組實數x',y',z' 使得op=x'oa+y'ob+z'oc
則有xoa+yob+zoc=x'oa+y'ob+z'oc ∴(x-x')oa+(y-y')ob+(z-z')oc=0
∵oa、ob、oc不共面 ∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'
故實數x,y,z是唯一的
2）若x+y+z=1 則pabc四點共面：
假設op=xoa+yob+zoc且x+y+z=1 且pabc不共面
那麼z=1-x-y 則op=xoa+yob+oc-xoc-yoc
op=oc+xca+ycb(cp=xca+ycb)
點p位於平面abc內與假設中的條件矛盾故原命題成立
空間一點p位於平面mab內的充要條件是存在有序實數對x.y,使 mp=xma+ymb 或對空間任一定點o，有 op=om+xma+ymb
選定向量基底，解決常見立體幾何問題
利津二中陳富君魏靜
我們知道，空間向量的座標運算成為解決立體幾何的垂直與平行的證明、角與距離的求解等問題的乙個十分有效的工具，用空間向量的方法處理立體幾何問題,常常可以收到化繁為簡,化難為易,也降低了同學們學習立體幾何的思維難度.但是空間直角座標座標系的應用有著很大的侷限性，取而代之，若以有著特殊關係的三個向量作為基底，通過向量運算將使更多的立體幾何問題得到很好的解決.這類問題常以特殊四面體（或空間四邊形），平行六面體，特殊三稜柱等為載體.
一、證明三點共線
例1 如圖，在空間四邊形abcd中，e、f分別是ab、ad的中點，g、h分別在bc、cd上，且bg : gc＝dh: hc＝1:
2.設eg和hf交於點p，求證p、a、c三點共線.
解設，則
∵，∴∴且a為pa、ac公共點，故p、a、c三點共線
二、證明直線平行平面
向量平行平面abc的充要條件是
例2 直四稜柱abcd－a1b1c1d1中，m、n分別是ab1與bc1上的點，且，求證mn∥平面abcd.
解設，則
∥平面abcd，而，故mn∥平面abcd.
三、證明直線垂直直線（或直線垂直平面）
例3 如圖，在四面體abcd中， m是ab的中點，n是cd的中點，求證：mn是異面直線ab，cd的公垂線的充要條件是：ac＝bd，bc＝ad.
證明設必要性若mn是異面直線ab，cd的公垂線，則
∵，同樣的可得，
∴， 因此，ac＝bd，同理bc＝ad.
充分性由ac＝bd，得①
由bc＝ad，得②
①＋②得故mn⊥am，同理mn⊥cn，即 mn是異面直線ab，cd的公垂線.
四、求異面直線的夾角
例4 在正四面體abcd中，m、p分別為稜ad、cd的中點，n、q分別是面bcd、面abc的中心，求mn與pq的夾角.
解設正四面體的稜長為2，o為bc中點，，則
，，∴，即|mn|＝|pq|＝1，
， 因此，mn與pq的夾角為
空間向量的基底的應用恰恰是教學中的薄弱環節,如果不注意及時補上這一課,久而久之,應用向量的思維會鈍化,甚至會緣木求魚.
3 1 2共面向量定理
3.1.2 共面向量定理 姜堰市蔣垛中學孟進 教學目標 1 了解共面向量的含義，理解共面向量定理 2 能運用共面向量定理證明有關線面平行和點共面的簡單問題 教學重點 共面向量定理的理解 教學難點 運用共面向量定理證明有關線面平行和點共面的簡單問題 教學方法 新授課 啟發式一一引導發現 合作 教學過程...
數學必修四向量知識點
第二章平面向量 1 向量 既有大小，又有方向的量 數量 只有大小，沒有方向的量 有向線段的三要素 起點 方向 長度 零向量 長度為的向量 單位向量 長度等於的向量 平行向量 共線向量 方向相同或相反的非零向量 零向量與任一向量平行 相等向量 2 向量加法運算 三角形法則的特點 首尾相連 平行四邊形法...
空間向量與幾何證明
例1 如圖所示，在直三稜柱中，已知，分別為 的中點.求證 平面 證明1 常規幾何法 取的中點，鏈結，ef bd，且ef bd，所以四邊形dbef為平行四邊形 所以be df.因為df平面，be平面所以平面 證明2 法向量法。以所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角座標系，則，設...