3.1.2 共面向量定理
姜堰市蔣垛中學孟進
教學目標：
1．了解共面向量的含義，理解共面向量定理；
2．能運用共面向量定理證明有關線面平行和點共面的簡單問題．
教學重點：
共面向量定理的理解．
教學難點：
運用共面向量定理證明有關線面平行和點共面的簡單問題．
教學方法：
新授課、啟發式一一引導發現、合作**．
教學過程：
一、問題情境
怎樣的向量是共面的向量呢？
在平面向量中，向量與向量（≠0）共線的充要條件是存在實數λ，使得＝λ．那麼，空間任意乙個向量與兩個不共線的向量，共面時，它們之間存在什麼樣的關係呢？
二、學生活動
1．自己作圖，通過長方體體驗並歸納什麼是共面向量．
2．通過模擬得出共面向量定理．
三、建構數學
如圖，在長方體abcd—a1b1c1d1中，，，而，，在同一平面內，此時，我們稱，，是共面向量．
1． 共面向量的定義．
一般地，能平移到同乙個平面內的向量叫共面向量；
理解 （1）若，為不共線且同在平面α內，則與，共面的意義是在α內或∥．（2）空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量就不一定共面了．
2．共面向量的判定．
平面向量中，向量與非零向量共線的充要條件是，模擬到空間向量，即有：
共面向量定理如果兩個向量，不共線，那麼向量與向量，共面的充要條件是存在有序實陣列(x，y)，使得＝x＋y．這就是說，向量可以由不共線的兩個向量，線性表示．
四、數**用
1．例題．
例1 如圖，已知矩形abcd和矩形adef所在平面互相垂直，點m，n分別在對角線bd，ae上，且．
求證：mn∥平面cde
證明：＝
又與不共線
根據共面向量定理，可知，，共面．
由於mn不在平面cde中，所以mn∥平面cde．
例2 設空間任意一點o和不共線的三點a，b，c，若點p滿足向量關係（其中x＋y＋z＝1）
試問 p，a，b，c四點是否共面？
解由可以得到
由a，b，c三點不共線，可知與不共線，所以，，共面且具有公共起點a．從而p，a，b，c四點共面．
推論空間一點p位於平面mab內的充要條件是存在有序實數對x，y使得：，或對空間任意一點o有：．
2．練習．
（1）作業課後練習1，2．
（2）已知非零向量，不共線，如果，，，求證：a，b，c，d共面．
（3）已知平行四邊形abcd，從平面ac外一點o引向量，，，．
求證 ①四點e，f，g，h共面；
②平面ac∥平面eg．
五、要點歸納與方法小結
本節課學習了以下內容：
1．了解共面向量的含義；
3．能運用共面向量定理證明有關線面平行和點共面的簡單問題．
向量證明四點共面
故 a，b，c，p四點共面。4可以先隨便假設其中3點共面 很簡單2點確定一條直線，直線和直線外一點可以確定1個平面 不防設 a b c 三點共面只需證明p點在這個平面上即可以下向量符號省去 證明 pa ba bp oa ob op ob oa op oa a 向量oa b向量ob c向量oc 1 a...
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