利用向量知識解題具有很多優越性:思路直觀,運算簡單,能把「數」與「形」有機地結合起來.學好平面向量,不僅是掌握生活、學習的一種工具,還能提高自己的數形結合能力和創新能力,而且能陶冶情操,享受數學思想方法帶來的向量學的美.
利用向量解決中學數學題目已經相當普遍,下面舉例運用向量方法證明代數中的一些問題.
一利用平面向量巧證三角證明題
例1 利用向量證明
， 圖1
證明:設正三角形abc的邊長為1.
如圖1,置於座標系中則
評析：依本題的證法，我們使x軸的正方向繞a點逆時針旋轉到向量的最小角為，（而不是本題的特殊角）可以得到以正三角形為依託的較為一般的兩個三角等式：
例2 用向量的方法還可以解決如下的問題，求值：
解：因正七邊形的外角為，設正七邊形的邊長為1，如圖2所示置於座標系中，則
圖2評析：此題是應用上面的證明方法來分析求解，在中學數學中可以遇到不少類似的題目，都可以類似來求解.
例3 用向量證明三角公式:
證明:如圖3,作乙個單位圓,取平面上的兩個單位向量使它們與x軸上的單位向量形成α、角,即
圖3評析:該公式在教材中採用構造法證明,先構造乙個單位圓,再在單位圓上構造四點,形成兩個全等三角形,利用兩點間的距離公式證得.這種方法在構造圖形上要求太高,很難與我們學過的知識相聯絡起來.
當我們學過平面向量後,可以簡潔地將此公式證明.
同法,我們可以證明:
例4證明：設三個單位向量：，.
綜上所述,可得:
二構造向量證明不等式
利用以下定理，可以用向量證明代數不等式.
定理:為兩個非零向量,則:
例5 設，試證：
證明:構造向量:
當且僅當時,不等號成立.
用向量證明問題還應該注意一些符號問題，如：
例6 用向量法證明：
證明：由於和方向的不確定性，可按分類討論的思想進行證明.
（1） 若與共線且方向相同時，則
（2） 若與共線且方向相反，則
（3） 若與不共線時，如圖4，設作平行四邊形oacb，可得
在三角形oab中，
在三角形oac中，
因為所以兩式相加可得
圖4評析：由於平面向量具有「數」和「形」的雙重功能，涉及「數」與「形」的許多問題需要分類討論，所以用分類討論思想解決平面向量問題是順理成章的事.通過分類討論把向量中的問題分門別類轉為區域性問題，使繁複的向量問題簡單化，從而達到解決問題的目的.
同樣地，我們可以用構造向量的方法來證明三角不等式：
例7 設均為銳角，滿足則
。證明：構造兩個向量：
所以評析：證明此類不等式證明，若能觀察到向量的「影子」，通過構造向量，利用向量的數量積運算公式，能使繁複的問題簡單化.
例8 若且.n為正整數.求證:
證明：由已知條件，知
構造向量：
所以若取得
（《上海中學數學》1993（2）數學問題1）
若取，得
（《數學通報》1994（11）數學問題921）
評析：此題也是巧妙構造向量的例子，題中n的取值不同可以得到不同的不等式方程，對應解決不同的數學問題.
小結：愛因斯坦說：「提出乙個問題往往比解決乙個問題更重要」.
善於觀察的人可以將常人熟視無睹的問題提出來，並加以研究解決.在引入向量的知識後，因為「向量」具有幾何形式和代數形式的「雙重身份」，它可以作為聯絡代數和幾何的紐帶，是中學數學知識的乙個交匯點.本文主要從代數問題的角度利用向量方法證明，打破常規，構造向量，利用平面向量的數量積獲得妙解.
思路直觀，運算簡單，能把「數」與「形」有機的結合起來.
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