4、反證法：有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式ａ>ｂ，先假設ａ≤ｂ，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定ａ>ｂ。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。
5、換元法：換元法是對一些結構比較複雜，變數較多，變數之間的關係不甚明了的不等式可引入乙個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。
(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較複雜，乙個變數不易用另乙個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同乙個引數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯絡，將複雜的代數問題轉化為三角問題； (2)增量換元法：
在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ進行換元。
二、疑難知識導析
1、在用商值比較法證明不等式時，要注意分母的正、負號，以確定不等號的方向。
2、分析法與綜合法是對立統一的兩個方面，前者執果索因，利於思考，因為它方向明確，思路自然，易於掌握；後者是由因導果，宜於表述，因為它條理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習慣。但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如果把「只需證明」等字眼不寫，就成了錯誤。而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程。
因而證明不等式時，分析法、綜合法常常是不能分離的。如果使用綜合法證明不等式，難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之後用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應人們習慣的思維規律。還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實現兩頭往中間靠以達到證題的目的。
這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統一關係。分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點。
3、分析法證明過程中的每一步不一定「步步可逆」，也沒有必要要求「步步可逆」，因為這時僅需尋找充分條件，而不是充要條件。如果非要「步步可逆」，則限制了分析法解決問題的範圍，使得分析法只能使用於證明等價命題了。用分析法證明問題時，一定要恰當地用好「要證」、「只需證」、「即證」、「也即證」等詞語。
4、反證法證明不等式時，必須要將命題結論的反面的各種情形一一加以匯出矛盾。
5、在三角換元中，由於已知條件的限制作用，可能對引入的角有一定的限制，應引起高度重視，否則可能會出現錯誤的結果。這是換元法的重點，也是難點，且要注意整體思想的應用。
三、經典例題導講
[例1] 已知a>b(ab),比較與的大小。
【錯解】a>b(ab)， <。
【錯因】簡單的認為大數的倒數必定小，小數的倒數必定大。正確的結論是：當兩數同號時，大數的倒數必定小，小數的倒數必定大。
【正解】，又a>b(ab)，
(1)當a、b同號時，即a>b>0或b0,b－a<0, ,<。
(2)當a、b異號時，則a>0,b<0, >0, <0>。
[例2] 當a、b為兩個不相等的正實數時，下列各式中最小的是（ ）
a、 b、 c、 d、
【錯解】所以選b。
【錯因】是由於在、、中很容易確定最小，所以易誤選b。而事實上三者中最小者，並不一定是四者中最小者，要得到正確的結論，就需要全面比較，不可遺漏與前三者的大小比較。
【正解】由均值不等式及a2+b22ab,可知選項a、b、c中，最小，而＝，由當ab時，a+b>2,兩端同乘以，可得（a+b）·＞2ab, ＜，因此選d。
[例3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。
【錯解】 (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,
∴(a+)2+(b+)2的最小值是8。
【錯因】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件是ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。
【正解】原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+( +)+4=[(a+b)2－2ab]+[( +)2－]+4 = (1－2ab)(1+)+4，
由ab≤()2= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，
∴原式≥×17+4= (當且僅當a=b=時，等號成立)，
∴(a +)2 + (b +)2的最小值是。
[例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，試比較的大小。
解法一：
∵0 < 1 x2 < 1, ∴
∴解法二：
∵0 < 1 x2 < 1, 1 + x > 1, ∴
∴ ∴
解法三：
∵0 < x < 1, ∴0 < 1 x < 1, 1 < 1 + x < 2,
∴∴左右 =
∵0 < 1 x2 < 1, 且0 < a < 1 ∴
∴[例5]已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac + bd
證法一（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正數
∴要證：xy≥ac + bd
只需證：(xy)2≥(ac + bd)2
即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展開得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，顯然成立
∴xy≥ac + bd
證法二（綜合法）xy =
證法三（三角代換法）
∵x2 = a2 + b2，∴不妨設a = xsin, b = xcos
y2 = c2 + d2c = ysin, d = ycos
∴ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos( )≤xy
[例6] 已知x > 0，求證：
證：建構函式則， 設2≤<
由顯然 ∵2≤< ∴ > 0, 1 > 0, > 0 ∴上式 > 0
∴f (x)在上單調遞增，∴左邊
基本不等式的證明
課題 基本不等式及其應用 一 教學目的 1 認知 使學生掌握基本不等式a2 b2 2ab a b r，當且僅當a b時取 號 和 a b r 當且僅當a b時取 號 並能應用它們證明一些不等式 2 情感 通過對定理及其推論的證明與應用，培養學生運用綜合法進行推理的能力 二 教學重難點 重點 兩個基本...
基本不等式與不等式證明
1.2基本不等式 主備人 遲克勤張瀅好李紅濤審核 朱玉國 學習目標 1.理解並掌握重要的基本不等式，不等式等號成立的條件 2.初步掌握不等式證明的方法 3 理解從兩個正數的基本不等式到三個正數基本不等式的推廣 複習 1 定理1 如果,那麼 2 定理2 基本不等式 如果,那麼 在定理2中的算術平均值的...
不等式專題02 基本不等式的證明
基本不等式的證明 知識網路 1 重要的基本不等式，不等式等號成立的條件 2 證明不等式的方法及應用。典型例題 例1 1 設，已知命題 命題，則是成 立的條件 答案 充分不必要條件 解析 是等號成立的條件。2 若為 abc的三條邊，且，則 2p,p從小到大排列順序是 答案 解析 又 3 設x 0,y ...