泰勒中值定理：若函式f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以展開為乙個關於（x-x.)多項式和乙個餘項的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.
)+f''(x.)/2!(x-x.
)^2,+f'''(x.)/3!(x-x.
)^3+……+f(n)(x.)/n!(x-x.
)^n+rn
其中rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.之間，該餘項稱為拉格朗日型的餘項。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x.的相乘。）
證明：我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.
)(x-x.)+α（根據拉格朗日中值定理匯出的有限增量定理有limδx→0 f(x.+δx)-f(x.
)=f'(x.)δx），其中誤差α是在limδx→0 即limx→x.的前提下才趨向於0，所以在近似計算中往往不夠精確；於是我們需要乙個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：
p(x)=a0+a1(x-x.)+a2(x-x.)^2+……+an(x-x.)^n
來近似地表示函式f(x)且要寫出其誤差f(x)-p(x)的具體表示式。設函式p(x)滿足p(x.)=f(x.
),p'(x.)=f'(x.),p''(x.
)=f''(x.),……,p(n)(x.)=f(n)(x.
),於是可以依次求出a0、a1、a2、……、an。顯然，p(x.)=a0,所以a0=f(x.
)；p'(x.)=a1,a1=f'(x.)；p''(x.
)=2!a2,a2=f''(x.)/2!
……p(n)(x.)=n!an,an=f(n)(x.
)/n!。至此，多項的各項係數都已求出，得：p(x)=f(x.
)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.
)/2!(x-x.)^2+……+f(n)(x.
)/n!(x-x.)^n.
接下來就要求誤差的具體表示式了。設rn(x)=f(x)-p(x),於是有rn(x.)=f(x.
)-p(x.)=0。所以可以得出rn(x.
)=rn'(x.)=rn''(x.)=……=rn(n)(x.
)=0。根據柯西中值定理可得rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(x)-rn(x.
)/(x-x.)^(n+1)-0=rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：
(x.-x.)^(n+1)=0),這裡ξ1在x和x.
之間；繼續使用柯西中值定理得rn'(ξ1)-rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.
)^(n-1)這裡ξ2在ξ1與x.之間；連續使用n+1次後得出rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(n+1)(ξ)/(n+1)!
，這裡ξ在x.和x之間。但rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-p(n+1)(x),由於p(n)(x)=n!
an,n!an是乙個常數，故p(n+1)(x)=0，於是得rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。綜上可得，餘項rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!
(x-x.)^(n+1)。一般來說展開函式時都是為了計算的需要，故x往往要取乙個定值，此時也可把rn(x)寫為rn。
麥克勞林展開式：若函式f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以展開為乙個關於x多項式和乙個餘項的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!x^2,+f'''(0)/3!x^3+……+f(n)(0)/n!x^n+rn
其中rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!x^(n+1),這裡0<θ<1。
證明：如果我們要用乙個多項式p(x)=a0+a1x+a2x^2+……+anx^n來近似表示函式f(x)且要獲得其誤差的具體表示式，就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當x.=0時的特殊形式：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!x^2,+f'''(0)/3!x^3+……+f(n)(0)/n!x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!x^(n+1)
由於ξ在0到x之間，故可寫作θx，0<θ<1。
麥克勞林展開式的應用：
1、展開三角函式y=sinx和y=cosx。
解：根據導數表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……
於是得出了週期規律。分別算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0……
最後可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（這裡就寫成無窮級數的形式了。）
類似地，可以展開y=cosx。
2、計算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。
解：對指數函式y=e^x運用麥克勞林展開式並捨棄餘項：
e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
當x=1時，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!
取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。
3、尤拉公式：e^ix=cosx+isinx（i為-1的開方，即乙個虛數單位）
證明：這個公式把複數寫為了冪指數形式，其實它也是由麥克勞林展開式確切地說是麥克勞林級數證明的。過程具體不寫了，就把思路講一下：
先展開指數函式e^z，然後把各項中的z寫成ix。由於i的冪週期性，可已把係數中含有土i的項用乘法分配律寫在一起，剩餘的項寫在一起，剛好是cosx,sinx的展開式。然後讓sinx乘上提出的i，即可匯出尤拉公式。
有興趣的話可自行證明一下。
[編輯本段]泰勒展開式
e的發現始於微分,當 h 逐漸接近零時,計算之值,其結果無限接近一定值 2.71828...,這個定值就是 e,最早發現此值的人是瑞士著名數學家尤拉,他以自己姓名的字頭小寫 e 來命名此無理數.
計算對數函式的導數,得 ,當 a=e 時, 的導數為 ,因而有理由使用以 e 為底的對數,這叫作自然對數.
若將指數函式 ex 作泰勒展開,則得
以 x=1 代入上式得
此級數收斂迅速,e 近似到小數點後 40 位的數值是
將指數函式 ex 擴大它的定義域到複數 z=x+yi 時,由
透過這個級數的計算,可得
由此,de moivre 定理,三角函式的和差角公式等等都可以輕易地匯出.譬如說,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i,
另方面,
所以,我們不僅可以證明 e 是無理數,而且它還是個超越數,即它不是任何乙個整係數多項式的根,這個結果是 hermite 在2023年得到的.
甲)差分.
考慮乙個離散函式(即數列) r,它在 n 所取的值 u(n) 記成 un,通常我們就把這個函式書成或 (un).數列 u 的差分還是乙個數列,它在 n 所取的值以定義為
以後我們乾脆就把簡記為
(例):數列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分數列為 3, 4, -1, -1, -8 ...
注:我們說「數列」是「定義在離散點上的函式」如果在高中,這樣的說法就很惡劣.但在此地,卻很恰當,因為這樣才跟連續型的函式具有完全平行的類推.
差分運算元的性質
(i) [合稱線性]
(ii) (常數) [差分方程根本定理]
(iii)
其中 ,而 (n(k) 叫做排列數列.
(iv) 叫做自然等比數列.
(iv)' 一般的指數數列(幾何數列)rn 之差分數列(即「導函式」)為 rn(r-1)
(乙).和分
給乙個數列 (un).和分的問題就是要算和 . 怎麼算呢我們有下面重要的結果:
定理1 (差和分根本定理) 如果我們能夠找到乙個數列 (vn),使得 ,則
和分也具有線性的性質:
甲)微分
給乙個函式 f,若牛頓商(或差分商) 的極限存在,則我們就稱此極限值為 f 為點 x0 的導數,記為 f'(x0) 或 df(x),亦即
若 f 在定義區域上每一點導數都存在,則稱 f 為可導微函式.我們稱為 f 的導函式,而叫做微分運算元.
微分運算元的性質:
(i) [合稱線性]
(ii) (常數) [差分方程根本定理]
(iii) dxn=nxn-1
(iv) dex=ex
(iv)' 一般的指數數列 ax 之導函式為
(乙)積分.
設 f 為定義在 [a,b] 上的函式,積分的問題就是要算陰影的面積.我們的辦法是對 [a,b] 作分割:
;其次對每一小段 [xi-1,xi] 取乙個樣本點 ;再求近似和 ;最後再取極限 (讓每一小段的長度都趨近於 0).
若這個極限值存在,我們就記為的幾何意義就是陰影的面積.
(事實上,連續性也「差不多」是積分存在的必要條件.)
積分運算元也具有線性的性質:
定理2 若 f 為一連續函式,則存在.(事實上,連續性也「差不多」是積分存在的必要條件.)
定理3 (微積分根本定理) 設 f 為定義在閉區間 [a,b] 上的連續函式,我們欲求積分如果我們可以找到另乙個函式 g,使得 g'=f,則
注:(1)(2)兩式雖是類推,但有一點點差異,即和分的上限要很小心!
上面定理1及定理3基本上都表述著差分與和分,微分與積分,是兩個互逆的操作,就好像加法與減法,乘法與除法是互逆的操作一樣.
我們都知道差分與微分的操作比和分與積分簡單多了,而上面定理1及定理3告訴我們,要計算 (un) 的和分及 f 的積分,只要去找另乙個 (vn) 及 g 滿足 , g'=f (這是差分及微分的問題),那麼對 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.換句話說,我們可以用較簡單的差分及微分操作來掌握較難的和分及積分操作,這就是"以簡御繁"的精神.牛頓與萊布尼慈對微積分最大的貢獻就在此.
甲)taylor展開公式
這分別有離散與連續的類推.它是數學中「逼近」這個重要想法的乙個特例.逼近想法的意思是這樣的:
給乙個函式 f,我們要研究 f 的行為,但 f 本身可能很複雜而不易對付,於是我們就想法子去找乙個較「簡單」的函式 g,使其跟 f 很「靠近」,那麼我們就用 g 來取代 f.這又是以簡御繁的精神表現.由上述我們看出,要使用逼近想法,我們還需要澄清
兩個問題:即如何選取簡單函式及逼近的尺度.
(一) 對於連續世界的情形,taylor 展式的逼近想法是選取多項函式作為簡單函式,並且用區域性的「切近」作為逼近尺度.說得更明白一點,給乙個直到到 n 階都可導微的函式 f,我們要找乙個 n 次多項函式 g,使其跟 f 在點 x0 具有 n 階的「切近」,即 ,答案就是
此式就叫做 f 在點 x0 的 n 階 taylor 展式.
g 在 x0 點附近跟 f 很靠近,於是我們就用 g 區域性地來取代 f.從而用 g 來求得 f 的一些區域性的定性行為.因此 taylor 展式只是區域性的逼近.
當f是足夠好的乙個函式,即是所謂解析的函式時,則 f可展成 taylor 級數,而且這個 taylor 級數就等於 f 自身.
泰勒公式的證明及應用 1
一 摘要3 前言3二 泰勒公式極其極其證明3 一 帶有皮亞諾型餘項的泰勒公式 3 二 帶有拉格朗日型餘項的泰勒公式 4 三 帶有柯西型餘項的泰勒公式 5 四 積分型泰勒公式6 五 二元函式的泰勒公式7 三 泰勒公式的若干應用8 一 利用泰勒公式求極限8 二 利用泰勒公式求高階導數 9 三 利用泰勒公...
泰勒公式的應用超強總結
泰勒公式有廣泛的應用，極限的計算 不等式的證明 近似計算和誤差估計，它是考研的一大熱點 但是近年考研大綱已經將 近似計算和誤差估計 的有關要求全部刪除了，現在只剩下極限計算和不等式證明了 數學三 四對此是沒有要求的，但是令人不可思議的是，數學三卻對泰勒級數是有要求的 在需要用到泰勒公式時，必須要搞清...
泰勒公式的應用超強總結
龔成通泰勒公式有廣泛的應用，極限的計算 不等式的證明 近似計算和誤差估計，它是考研的一大熱點 但是近年考研大綱已經將 近似計算和誤差估計 的有關要求全部刪除了，現在只剩下極限計算和不等式證明了 數學三 四對此是沒有要求的，但是令人不可思議的是，數學三卻對泰勒級數是有要求的 在需要用到泰勒公式時，必須...