龔成通泰勒公式有廣泛的應用,極限的計算、不等式的證明、近似計算和誤差估計,它是考研的一大熱點.但是近年考研大綱已經將「近似計算和誤差估計」的有關要求全部刪除了,現在只剩下極限計算和不等式證明了.
數學三、四對此是沒有要求的,但是令人不可思議的是,數學三卻對泰勒級數是有要求的.
在需要用到泰勒公式時,必須要搞清楚三點:
●1.展開的基點;
●2.展開的階數;
●3.餘項的形式.
其中餘項的形式,一般在求極限時用的是帶皮亞諾餘項的泰勒公式,在證明不等式時用的是帶拉格朗日餘項的泰勒公式.
而基點和階數,要根據具體的問題來確定.
【例1】求極限;
【分析】本題如果不用泰勒公式,直接用洛必達法則,也能計算,但必須要用六次洛必達法則,而且導數越求越複雜.
用泰勒公式就會方便得多.基點當然取在點,餘項形式也應該肯定是皮亞諾餘項.
問題是展開的階數是幾?一般是這樣考慮:逐階展開,展開一項,消去一項,直到消不去為止.
首先將分子上函式進行展開,為此寫出和的泰勒展開式.的第一項是1,的第一項是,所以的第一項是,
與後面的消去了.再將它們展開一項,得到的前兩項是,所以還要將它們再展開一項.
對於分母也是一樣.
【解】, ,,,
,,原式.【例2】求極限.
【解析】本題與上題一樣,如果不用泰勒公式,直接用洛必達法則,也是能計算的,但必須要用四次洛必達法則,而且導數會越求越複雜.
為了方便地使用泰勒公式可以先做換元(倒數置換法).
【解】原式.
泰勒公式的應用超強總結
泰勒公式有廣泛的應用,極限的計算 不等式的證明 近似計算和誤差估計,它是考研的一大熱點 但是近年考研大綱已經將 近似計算和誤差估計 的有關要求全部刪除了,現在只剩下極限計算和不等式證明了 數學三 四對此是沒有要求的,但是令人不可思議的是,數學三卻對泰勒級數是有要求的 在需要用到泰勒公式時,必須要搞清...
泰勒公式的證明及應用 1
一 摘要3 前言3二 泰勒公式極其極其證明3 一 帶有皮亞諾型餘項的泰勒公式 3 二 帶有拉格朗日型餘項的泰勒公式 4 三 帶有柯西型餘項的泰勒公式 5 四 積分型泰勒公式6 五 二元函式的泰勒公式7 三 泰勒公式的若干應用8 一 利用泰勒公式求極限8 二 利用泰勒公式求高階導數 9 三 利用泰勒公...
關於泰勒公式及其應用的思考與討論
作者 齊永波 學園 2014年第33期 摘 要 在高等數學教學中,泰勒公式是重要的內容,在對一些數學問題的分析和研究中,泰勒公式的應用非常廣泛,本文主要針對泰勒公式在方程根的唯一性和存在性 近似計算 求極限及不等式問題中的應用技巧和方法進行思考和討論。關鍵詞 泰勒公式 應用 討論 中圖分類號 g64...