1如圖1,在四邊形中,,分別是的中點,鏈結並延長,分別與的延長線交於點,則(不需證明).
(溫馨提示:在圖1中,鏈結,取的中點,鏈結,根據三角形中位線定理,證明,從而,再利用平行線性質,可證得.)
問題一:如圖2,在四邊形中,與相交於點,,分別是的中點,鏈結,分別交於點,判斷的形狀,請直接寫出結論.
問題二:如圖3,在中,,點在上,,分別是的中點,鏈結並延長,與的延長線交於點,若,鏈結,判斷的形狀並證明.
2已知中,為邊的中點,
繞點旋轉,它的兩邊分別交、(或它們的延長線)於、
當繞點旋轉到於時(如圖1),易證
當繞點旋轉到不垂直時,在圖2和圖3這兩種情況下,上述結論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,、、又有怎樣的數量關係?請寫出你的猜想,不需證明.
3已知:的高ad所在直線與高be所在直線相交於點f.
(1)如圖l,若為銳角三角形,且,過點f作,交直線ab於點g,求證:;
(2)如圖 2,若,過點f作,交直線ab於點g,則fg、dc、ad之間又有怎樣的數量關係?請寫出你的猜想,不需證明.
4已知:正方形中,,繞點順時針旋轉,它的兩邊分別交(或它們的延長線)於點.
當繞點旋轉到時(如圖1),易證.
(1)當繞點旋轉到時(如圖2),線段和之間有怎樣的數量關係?寫出猜想,並加以證明.
(2)當繞點旋轉到如圖3的位置時,線段和之間又有怎樣的數量關係?請直接寫出你的猜想.
5已知:如圖,bd、ce分別是△abc的外角平分線,過點a作af⊥bd,ag⊥ce,垂足分別為f、g,鏈結fg,延長af、ag與直線bc相交,易證:,若:
(1)bd、ce分別是△abc的內角平分線(如圖2);
(2)bd為△abc的內角平分線,ce為△abc的外角平分線(如圖3),則在圖2、圖3兩種情況下,線段fg與△abc三邊又有怎樣的數量關係?請寫出你的猜測,並對其中的一種情況進行證明。
6已知四邊形中,,,,,,繞點旋轉,它的兩邊分別交(或它們的延長線)於.
當繞點旋轉到時(如題圖1),易證.
當繞點旋轉到時,在圖2和圖3這兩種情況下,上述結論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,線段,又有怎樣的數量關係?請寫出你的猜想,不需證明.
7已知∠aob=900,在∠aob的平分線om上有一點c,將乙個三角板的直角頂點與c重合,它的兩條直角邊分別與oa、ob(或它們的反向延長線)相交於點d、e.
當三角板繞點c旋轉到cd與oa垂直時(如圖1),易證:od+oe=oc.
當三角板繞點c旋轉到cd與oa不垂直時,在圖2、圖3這兩種情況下,上述結論是否還成立?若成立,請給予證明;若不成立,線段od、oe、oc之間又有怎樣的數量關係?請寫出你的猜想,不需證明.
圖1圖2圖3
8已知矩形abcd和點p,當點p在圖1中的位置時,則有結論:s△pbc=s△pac+s△pcd理由:過點p作ef垂直bc,分別交ad、bc於e、f兩點.
圖l∵ s△pbc+s△pad=bc·pf+ad·pe=bc(pf+pe)=bc·ef=s矩形abcd
又∵ s△pac+s△pcd+s△pad=s矩形abcd
∴ s△pbc+s△pad= s△pac+s△pcd+s△pad.
∴ s△pbc=s△pac+s△pcd.
請你參考上述資訊,當點p分別在圖2、圖3中的位置時,s△pbc、s△pac、spcd又有怎樣的數量關係?請寫出你對上述兩種情況的猜想,並選擇其中一種情況的猜想給予證明.
圖2圖3
9已知:點 c 是∠man 平分線上一點∠bcd 兩邊 cb 、cd 分別與射線 am 、an 相交
於 b 、d 兩點,且∠bcd +∠man = 180° .
(1)當∠man = 90°(如圖 l )時,求證: ab + ad=ac ;
(2)若∠man = 60°(如圖 2 ) ,則 ab 、ad 、ac之間又有怎樣的數量關係?請寫出你的猜想,不需證明.
10..在中,,點是直線上一點(不與重合),以為一邊在的右側作,使,連線.
(1)如圖1,當點**段上,如果,則度;
(2)設,.
①如圖2,當點**段上移動,則之間有怎樣的數量關係?請說明理由;
②當點在直線上移動,則之間有怎樣的數量關係?請直接寫出你的結論.
11是等邊三角形,點是射線上的乙個動點(點不與點重合),是以為邊的等邊三角形,過點作的平行線,分別交射線於點,連線.
(1)如圖(a)所示,當點**段上時.
①求證:;
②**四邊形是怎樣特殊的四邊形?並說明理由;
(2)如圖(b)所示,當點在的延長線上時,直接寫出(1)中的兩個結論是否成立?
(3)在(2)的情況下,當點運動到什麼位置時,四邊形是菱形?並說明理由.
12已知:如圖所示,直線與的平分線交於點,過點作一條直線與兩條直線分別相交於點.
(1)如圖1所示,當直線與直線垂直時,猜想線段之間的數量關係,請直接寫出結論,不用證明;
(2)如圖2所示,當直線與直線不垂直且交點都在的同側時,(1)中的結論是否成立?如果成立,請證明:如果不成立,請說明理由;
(3)當直線與直線不垂直且交點在的異側時,(1)中的結論是否仍然成立?如果成立,請說明理由;如果不成立,那麼線段之間還存在某種數量關係嗎?如果存在,請直接寫出它們之間的數量關係.
13.圖中是一副三角板,45°的三角板rt△def的直角頂點d恰好在30°的三角板rt△abc斜邊ab的中點處,∠a=30o,∠e= 45o,∠edf=∠acb=90 o ,de交ac於點g,gm⊥ab於m.
(1)如圖①,當df經過點c 時,作cn⊥ab於n,求證:am=dn.
(2)如圖②,當df∥ac時,df交bc於h,作hn⊥ab於n,(1)的結論仍然成立,請你說明理由.
14在圖1至圖3中,點b是線段ac的中點,點d是線段ce的中點.四邊形bcgf和cdhn都是正方形.ae的中點是m.
(1)如圖1,點e在ac的延長線上,點n與點g重合時,點m與點c重合,
求證:fm = mh,fm⊥mh;
(2)將圖1中的ce繞點c順時針旋轉乙個銳角,得到圖2,
求證:△fmh是等腰直角三角形;
(3)將圖-2中的ce縮短到圖-3的情況,
△fmh還是等腰直角三角形嗎?(不必
說明理由)
15. 如圖,在rt△abc中,∠acb=90°, ∠b =60°,bc=2.點0是ac的中點,過點0的直線l從與ac重合的位置開始,繞點0作逆時針旋轉,交ab邊於點d.過點c作ce∥ab交直線l於點e,設直線l的旋轉角為α.
(1)①當度時,四邊形edbc是等腰梯形,此時ad的長為
②當度時,四邊形edbc是直角梯形,此時ad的長為
(2)當α=90°時,判斷四邊形edbc是否為菱形,並說明理由.
16如圖①,四邊形abcd是正方形, 點g是bc上任意一點,de⊥ag於點e,bf⊥ag於點f.
(1) 求證:de-bf = ef.
(2) 當點g為bc邊中點時, 試**線段ef與gf之間的數量關係, 並說明理由.
(3) 若點g為cb延長線上一點,其餘條件不變.請你在圖②中畫出圖形,寫出此時de、bf、ef之間的數量關係(不需要證明).
17. .如圖1,若△abc和△ade為等邊三角形,m,n分別eb,cd的中點,易證:cd=be,△amn是等邊三角形.
(1)當把△ade繞a點旋轉到圖2的位置時,cd=be是否仍然成立?若成立請證明,若不成立請說明理由;1
(2)當△ade繞a點旋轉到圖3的位置時,△amn是否還是等邊三角形?若是,請給出證明,
18 將兩個全等的直角三角形abc和dbe按圖①方式擺放,其中∠acb=∠deb=90,∠a=∠d=30,點e落在ab上,de所在直線交ac所在直線於點f.
(1)求證:af+ef=de;
(2)若將圖①中的△dbe繞點b按順時針方向旋轉角,且0<<60,其他條件不變,請在圖②中畫出變換後的圖形,並直接寫出(1)中的結論是否仍然成立;
(3)若將圖①中的△dbe繞點b按順時針方向旋轉角,且60<<180,其他條件不變,如圖③.你認為(1)中的結論還成立嗎?若成立,寫出證明過程;若不成立,請寫出此時af、ef與de之間的關係,並說明理由.
19. 如圖,在△abc中,d是bc邊上的中點,de⊥df,de交ab於點e,df交ac於點f,鏈結ef。
①若∠a=90°,求證:。
②如圖,在四邊形abdc中,∠b+∠c=180°,db=dc,∠bdc=120°,以d為頂點作乙個60°角,角的兩邊分別交ab、ac於e、f兩點,鏈結ef,探索線段be、cf、ef之間的數量關係,並加以證明。
20 已知正方形abcd中,e為對角線bd上一點,過e點作ef⊥bd交bc於f,連線df,g為df中點,連線eg,cg.
(1)求證:eg=cg;
(2)將圖①中△bef繞b點逆時針旋轉45,如圖②所示,取df中點g,連線eg,cg.問(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
(3)將圖①中△bef繞b點旋轉任意角度,如圖③所示,再連線相應的線段,問(1)中的結論是否仍然成立?通過觀察你還能得出什麼結論?(均不要求證明)
1..(1)等腰三角形(2)判斷出直角三角形
證明:如圖鏈結,取的中點,鏈結
是的中點,,,
同理,,.,,
,是等邊三角形.,,
即是直角三角形.
2. 解:圖2成立;圖3不成立. 證明圖2:
過點作則再證有由資訊可知
圖3不成立,的關係是:
3. (1)證明:,..
...,.
,.(2).
4.解:(1)成立把繞點順時針,得到,
則可證得三點共線(圖形畫正確)證得:證得:
(2)51圖2結論為
證明:分別延長ag、af交bc於h、k,易證△baf≌△bkf得
af=kf,ab=kb
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