３２中學教研（數學）２ｏｌ１正
●陸洪良
（嘉興市第一中學實驗學校浙江嘉興３１４００１）
隨著新課程標準的推行和考試觀念的轉變，以注重培養學生的發現思維能力與解決問題能力的
新題型越來越多地湧現，其中歸納、猜想與證明等問題備受青睞．那麼，什麼是歸納、猜想與證明呢？歸納、猜想與證明指的是給出一定的條件（可以是有規律的算式、圖形或圖表等），讓學生認真分析、仔細觀察、綜合歸納、大膽猜想、得出結論，進而加
以驗證（或證明）的數學探索問題．其解題思維過
程是：從特殊情況人手一探索發現規律一綜合歸納
猜想得出結論一驗證（或證明）結論．這類問題
形式多樣、方法靈活多變、技巧性強，學生普遍感到束手無策．本文試圖通過數與式、函式、幾何圖形和操作性４種型別的問題來闡述這類題型的解題思
想方法．１數與式型別
例１計算：２ 一１＝１，２ 一ｌ＝３，２。一ｌ＝７，２ 一１＝１５，２ 一１＝３１，…．歸納各計算結果中的個位數字規律，猜測２ ｍ 一ｌ的個位數字是（）
ａ．１ｂ．３
ｃ．７ｄ．５
解因為２ 一１＝ｌ，２ 一１＝３，２ 一ｌ＝７，２ 一
ｌ＝ｌ５，２ 一１＝３１，２ 一１＝６３，２』一１＝１２７２。一ｌ＝
，２５５，…，可以發現，個位數字呈１，３，７，５週期性循
環，而２ ｍ ＝２」，所以２ ∞』一１的個位數是７．
故選ｃ．
例２觀察下面的幾個算式：
１＋２＋１＝４．
根據你所發現的規律，請直接寫出下面式子的結
果：３＋２＋１＝．—
——分析這是一道數字類探索性問題．解這一類
型題目要用到歸納推理，經過觀察知道：加數排列
成「回文」的形式，依次從小到大，再從大到小的連續正整數，而所得的和恰好是最大（最中間）數的
平方，因此不難得出結論是２ ０１１．
數與式型別問題反映了由特殊到一般的數學
方法，同時培養學生的分析、歸納、抽象、概括能力，因此在處理此類問題時，一定要依據題意，從最簡
單情形出發，發現其中的規律，並通過大膽地猜想、歸納、驗證，從而得出正確的結論．數學史上有很多重要的發現，如哥德**猜想、四色猜想、費爾馬大定理等就是由數學家的探索、猜想而得的．數學的
學習必須不斷地去探索、猜想、總結規律，這樣才會
有所發現、有所創造．２函式型別
例３如圖１，點ｐ，，，…，
ｐ 在函式ｙ＝
（＞０）的圖上，△ｐ１０ ｌ，
ａ 都是等邊三圖１一
。角形，邊一ｌａ 都在軸上，則
點ａ 的座標為一
（２００７年全國初中數學聯賽試題改編）
解先從最簡單的情形著手：求出點ａ ，ａ ，
ａ ，ａ 的座標，進而歸納猜想得到ａ 的座標並驗
證．如圖ｌ，分別過點ｐ ，ｐ 作軸的垂線，垂足分別為 ｌ，２．設ｏｂｌ＝口，ａ１ｂ２＝ｂ，則
ｐ１ｂ１＝√３口
得點ｐ。，ｐ：的座標為（口，，／ｓａ），（２口＋ｂ，，／ｓｂ）．因此｛一
解得口＝ ，ｂ＝一 ，
於是同理可得進而得
例４如圖２，在直角座標系中，已知點的
座標為（１，０），將線段ｏｍｏ繞原點沿逆時針方向旋轉４５。，再將其延長到點 。，使得 。上ｏｍｏ，得到線段ｏｍ。；又將線段ｏｍ。繞原點０沿逆時針方
第６期陸洪良：歸納、猜想與證明３３
向旋轉４５。，再將其延長到點，使得。上
ｏｍ ，得到線段ｏｍ ，如此下去，得到線段ｏｍ３，
（１）寫出點的座標；：
（２）求△ｍ５ｏｍ６的周．…長；
ｐｕｏ５ｉ
●（３）我們規定：把點＿＿
的橫座標 ，縱座標ｙ 都取
圖２絕對值後得到的新座標
稱之為點
的「絕對座標」．根據圖
中點的分布規律，請你猜想點的「絕對坐
標」，並寫出來．
解（１） （一４，一４）．（２）由規律可知，
眠因此△ｍ５ｏｍ６的周長是８＋８ ．
（３）由題意知，ｏｍｏ旋轉８次後回到軸的正
半軸．在這８次旋轉中，點分別落在座標象限
的分角線上或軸或ｙ軸上，但各點「絕對座標」的橫、縱座標均為非負數，因此點ｍ 的「絕對座標」可分為以下３類情況：令旋轉次數為 ．
①當點在軸上時：眠（（）。，０），
（（即點
的「絕對座標」為（（），ｏ）．
②當點在ｙ軸上時
（一，即
點的「絕對座標」為（０，（）「）．
③當點在各象限的分角線上時：
。（（。，（）。），鴨
（（，（
即的「絕對座標」為（（），（））．
３幾何型別
例５ 如圖３，觀察下面的位圖形和與之相對應的等式，**其中的規律：
（１）請你在④和⑤後面的橫線上分別寫出相對應的等式；
（２）通過猜想，寫出與第ｎ個圖形相對應的等
式．解通過觀察分析，順著３個已知式子的書寫
規律即可寫出式④和式⑤，進而可以推出其一般規
律：（１）因為所以可類似地推得和
（２）由已知條件結合第（１）小題的結論可得，
第ｒｔ個圖形相對應的等式為：
４（ｒｔ一１）＋１＝４ｎ一３．②嘧ｈ
⑨ｈ則一—
—：⑤一
——：圖３
例６如圖４，５，６，點ｄ，ｅ分別是正ａａｂｃ、正
方形ａｂｃｍ、正五邊形ａｂｃｍｎ中以點ｃ為頂點的相鄰２條邊上的點，且ｂｅ＝ｃｄ，ｄｂ交ａｅ於點ｐ．
（１）求圖４中／＿．ａｐｄ的度數．（２）圖５中／＿＿ａｐｄ的度數為——
，圖６中
／＿ａｐｄ的度數為一
（３）根據前面的探索，能否將本題推廣到一般的正忍邊形的情況．若能，寫出推廣問題和結論；若
不能，請說明理由．ａｂ
圖４圖５
圖６圖７
分析本題從特殊圖形（正三角形）出發，進
行規律探索，通過對圖形的觀察和變化情況的分析，合理地進行猜想、驗證，並由特殊到一般地進行引申推廣．
解（１）由ａａｂｃ為等邊三角形，可得
３４中學教研（數學）
又由ｂｅ＝ｃｄ，得
ａａ船ａｂｃｄ．因此故
ａｂｅ＝６０。．
（３）能．如圖７，點ｅ，ｄ分別是正凡邊形ａｂｃｍ
…上以點ｃ為頂點的相鄰２條邊上的點，且ｂｅ＝
ｃｄ，ｂｄ與ａｅ交於點ｐ，則
ａｐｄ：！２：
．評注本題的本質就是進行歸納、猜想、模擬
和聯想，作出判斷和推理論證．
４操作型別
例７ 在２，３這２個數之間，第１次寫上
：５，第２次在２，５之間和５，３之間分別寫上
竽：和 ：４，如下所示：
第０次操作：２
３第１次操作：２５３
第２次操作：２÷５４ ３
第３次操作：
……第ｋ次操作是在上一次操作的基礎上，在每２
個相鄰的數之間寫上這２個數的和的÷．
（１）請寫出第３次操作後所得到的９個數，並
求出它們的和；（２）經過ｋ次操作後所有數的和記為ｓ ，第ｋ＋１次操作後所有數的和記為ｉｓ川，寫出ｓ…與
ｓ 之間的關係式；
（３）求的值．
解 （１）第３次操作後所得的９個數為：２，
，吾於是它們的和為萼．
（２）由題設知ｓｏ＝５，因此ｓ…＋
＝＝ｋ＋３５—』
（３）因為
ｓ川：麗ｋ＋３ｓ 一
ｓ。＝５５，，
所以ｊｓ ＝ ６５，一
＝４０，
於是ｓｓ了ｊ＝
／ｊｓ 一 ５ｓ一＝５５
，故ｓ＝詈．ｓ一詈＝．
例８如圖８所示，
對面積為ｌ的ａａｂｃ逐
次進行以下操作：第１次
操作，分別延長ａｂ，ｂｃ，
ｃａ至點ａ ，ｂ。，ｃ１，使得
圖８ａ＝２ｃａ，順次鏈結ａ１，ｂ。，ｃ１，得到△ａ 。ｃ。，記
其面積為ｓ ；第２次操作，分別延長至點ａ２，２，ｃ２，使得
順次鏈結ａ２，２，ｃ ，得到ａａｂ ｃ ，記其面積為 ；…；按此規律繼續下去，可得到△ａ ｃ ，則其面積ｓ ＝一
分析從最簡單的情形出發，先求△ａ ｂ ｃ
的面積．鏈結ｂｃ ，由ａｃ ＝２ａｃ，可得
ｓａａｓｃ＝１
２ｓ△ａｂｃ＝２；
又由ａ ｂ＝２ａｂ，得
於是船ｃ１＝４＋２＝６．同理可得
因此船ｌ＋．ｓ△日腳＝
同理可得
ｓａａ２口口
進而可推得，ｊｓ 蹦＝１９「．
綜上所述，對於這４種型別問題的求解，首先要仔細審題，看清楚題目所求的未知量是什麼；然
後找出各個未知量之間的聯絡，這其中就包括了在
尋找未知量的拓展過程中，哪些量變了，哪些量沒有變；最後根據這些聯絡列出通項求解．在遇到具
體關係很難找的問題時，不妨先寫出第１項，第２項，第３項，…，然後去找其存在的規律．偉大的科學家牛頓說過，「沒有大膽的猜測就做不出偉大的
發現」．因此在數學教學中，要注重培養學生主動地觀察、實驗、猜測、驗證、推理論證的能力，提高學生自主學習與分析、解決問題的能力．衷心希望學生的思維能力和數學素養能得到全面的提高．
歸納猜想證明
問題2 數列的通項公式，計算的值，可以得到什麼結論？學生回答 該數列的前四項都是1，猜測該數列的所有項都是1，這是錯誤的結論，該數列第五項是25。解決以上兩個問題用的都是歸納法 用一些特殊事例推出一般結論。為什麼問題1的結論正確，問題2的結論錯誤呢？這是因為問題1中，一共10個球，全部看了一遍，結論...
第1講歸納 猜想 證明
數學高考綜合能力題選講8 100080 北京中國人民大學附中梁麗平 題型 觀察 歸納 猜想 證明是解決探索性問題的重要思維方法，也是高考考查的熱點 範例選講 例1 已知數列滿足，對於任意的n n，都有 0，且.又知數列滿足 求數列的通項以及它的前n項和 求數列的前n項和 猜想和的大小關係，並說明理由...
觀察 實驗 歸納 模擬 猜想 證明
認識 於實踐，觀察和實驗是我們認識事物的重要方法，通過觀察和實驗，可以發現許多規律。歸納的方法也是人們認識事物的重要方法，歸納法有完全歸納法和不完全歸納法兩類，初中階段只要了解歸納的一些補步知識，在高中階段將會進一步進行研究。一 本節重點 難點 關鍵 重點 善於觀察和認識事物的內在規律。難點 對事物...