1、將矩形abcd紙片沿對角線ac剪開，得到△abc和△a′c′d，如圖1所示.將△a′c′d的頂點a′與點a重合，並繞點a按逆時針方向旋轉，使點d、a(a′)、b在同一條直線上，如圖2所示．
觀察圖2可知：與bc相等的線段是 ▲ ，∠cac
問題**
如圖3，△abc中，ag⊥bc於點g，以a為直角頂點，分別以ab、ac為直角邊，向△abc外作等腰rt△abe和等腰rt△acf，過點e、f作射線ga的垂線，垂足分別為p、q. 試**ep與fq之間的數量關係，並證明你的結論.
2、點o是等邊△abc所在平面上的任意一點，鏈結oa並延長到e，使得ae=oa。以ob、oc為鄰邊作平行四邊形obfc，鏈結ef。**ef與bc的關係。
3、 如圖12，在△abc中，d為bc的中點，點e、f分別在邊ac、ab上，並且∠abe=∠acf，be、cf交於點o．過點o作op⊥ac，oq⊥ab，p、q為垂足．求證：dp=dq．
4. 兩塊等腰直角三角板△abc和△dec如圖擺放，其中∠acb=∠dce=90°，f是de的中點，h是ae的中點，g是bd的中點．
（1）如圖1，若點d、e分別在ac、bc的延長線上，通過觀察和測量，猜想fh和fg的數量關係為_______和位置關係為______；
（2）如圖2，若將三角板△dec繞著點c順時針旋轉至ace在一條直線上時，其餘條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立，若成立，請證明，不成立請說明理由；
（2）如圖3，將圖1中的△dec繞點c順時針旋轉乙個銳角，得到圖3，（1）中的猜想還成立嗎？直接寫出結論，不用證明.
5. 如圖。，bd是△abc的內角平分線，ce是△abc的外角平分線，過點a作af⊥bd，ag⊥ce，垂足分別為f、g。
**：線段fg的長與△abc三邊的關係，並加以證明。
附加題：**bd、ce滿足什麼條件時，線段fg的長與△abc的周長存在一定的數量關係，並給出證明。
6. 在四邊形abcd中，對角線ac平分∠dab．
(1)如圖①，當∠dab＝120°，∠b＝∠d＝90°時，求證：ab＋ad＝ac．
(2)如圖②，當∠dab＝120°，∠b與∠d互補時，線段ab、ad、ac有怎樣的數量關係?寫出你的猜想，並給予證明．
(3)如圖③，當∠dab＝90°，∠b與∠d互補時，線段ab、ad、ac有怎樣的數量關係?寫出你的猜想，並給予證明．
7.（1）如圖1所示，在四邊形中， =，與相交於點，分別是的中點，聯結，分別交、於點，試判斷的形狀，並加以證明；
（2）如圖2，在四邊形中，若，分別是的中點，聯結fe並延長，分別與的延長線交於點，請在圖2中畫圖並觀察，圖中是否有相等的角，若有，請直接寫出結論
（3）如圖3，在中，，點在上，，分別是的中點，聯結並延長，與的延長線交於點，若，判斷點與以ad為直徑的圓的位置關係，並簡要說明理由．
8. 如圖，△abc是等邊三角形，f是ac的中點，d**段bc上，連線df，以df為邊在df的右側作等邊△dfe，ed的延長線交ab於h，連線ec，則以下結論：①∠ahe+∠afd=180°；②af=bc；③d**段bc上（不與b，c重合）運動，其他條件不變時是定值；
（1）其中正確的是
（2）對於（1）中的結論加以說明；
9、以△abc中ab、ac為邊分別向形外作等腰直角△abe和等腰直角△acf，ah是△abc的高。
1、**：線段ge、gf的數量關係。
2、若以梯形abcd的腰ab、dc向形外作等腰直角△abe、△dcf，g是ef的中點，**：線段ga、gd的數量關係。（利用中點構造全等三角形）
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