位址：江蘇省海頭高階中學姓名：許海豔
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推理與證明是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式．主要包括歸納推理、模擬推理及演繹推理的模式與思維過程，還有常用的證明方法，包括綜合法、分析法、反證法等．在實際推理與證明中，經常會出現這樣那樣的問題，下面結合實際加以剖析．
1．歸納的不完全性出錯
例1．對任意正整數n，猜想2n與n2的大小關係．
錯解：當n=1時，21>12；當n=2時，22=22；當n=3時，23<32；
所以可以猜想當n=1時，2n>n2；當n=2時，2n=n2；當n≥3時，2n錯解剖析：要猜想一些問題時，由於歸納的不完全性，經常會出現一些不必要的錯誤．上面的錯解在於比較大小時，對n的取值只取到n=3就結束，根據習慣思維，歸納出n>3時都有同樣的結論．所以在進行了歸納時，要以所歸納的結論多加以分析、歸納，從而得到比較正確的猜想．
正確解答：當n=1時，21>12；當n=2時，22=22；當n=3時，23<32；當n=4時，24=42；當n=5時，25>52；當n=6時，26>62；
所以可以猜想當n=3時，2n2．模擬的不全面性出錯
例2．由圖（1）有面積關係： =，則由圖（2）有體積關係： =＿＿＿＿＿．
錯解一：由圖（1）有面積關係： =，則由圖（2）有體積關係： =．
錯解剖析：通過題目分析，模擬的方式有兩種，一種是由平面幾何向空間幾何的結構模擬型的思想，一種是由三角形的面積向三稜錐的體積的公式模擬型的思想．上面的錯解在於模擬時沒有進行全面考慮而導致出錯的．綜合多種的模擬型加以分析求解，是比較高的層次的要求，要引起注意．
正確解答：由圖（1）中的面積關係： =知，其相應的面積比是對應的從點p出發的兩條相應的線段的長度的乘積之比，
那麼模擬到圖（2）中的體積關係：，其值就應該也是對應的從點p出發的相應的三條線段的長度的乘積之比，即=，
證明時只需在原面積的基礎上乘上相應的高，而相應的高的比等於三稜錐的第三邊上的線段的比，從而模擬的結果成立．
3．演繹的不精確性出錯
例3．在△abc中，e、f分別為ab、ac的中點，則有ef//bc這個問題的大前提為（ ）
a．三角形的中位線平行於第三邊 b．三角形的中位線等於第三邊的一半
c．ef為中位線d．ef//cb
錯解：選擇答案：c．
錯解剖析：演繹推理中三段論推理的依據是：如果集合m中的每乙個元素具有屬性p，且s是m的子集，那麼集合s中的每乙個元素都具有屬性p．在正確分清大前提、小前提與結論，才能作出正確的判斷．上面的錯解在於沒有分清演繹推理中的大前提、小前提與結論，而導致判斷失誤．
正確解答：根據演繹推理中的三段論推理的形式和三角形中的相關知識，可以知識對應的大前提是：三角形的中位線平行於第三邊；小前提是：
e、f分別為ab、ac的中點（即ef是中位線）；結論是：ef//bc；故選擇答案：a．
4．直接證明的不鏈結性出錯
例4．設函式f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若函式f（x+1）與f（x）的圖象關於y軸對稱．求證：f（x+）為偶函式．
錯解：由於函式f（x+1）與f（x）的圖象關於y軸對稱，
那麼拋物線f（x+1）的對稱軸為x=－－1與f（x）的對稱軸x=－關於y軸對稱，
則有－－1=－，即有a=－b，
而當a=－b時，由函式f（x）=ax2+bx+c（a≠0）知，f（x+）為偶函式．
錯解剖析：結合題目條件，根據條件得出a=－b，那麼如何與f（x+）為偶函式兩者的鏈結沒有形成，導致鏈結中斷，從而出錯．本題是一例典型的分析綜合法綜合應用的證明題．在用分析綜合法綜合應用證明問題時，根據題目條件可先分析再綜合，也可以先綜合後分析，從而達到綜合證明問題的目的．分析與綜合時兩者要有相關的鏈結，否則容易出錯．
正確解答：要證f（x+）為偶函式，只需證明其對稱軸為x=0，即只需證明－－=0，則只要證明a=－b，
由已知，拋物線f（x+1）的對稱軸為x=－－1與f（x）的對稱軸x=－關於y軸對稱，
所以－－1=－，即有a=－b，所以f（x+）為偶函式．
5．反證的不完整性出錯
例5．已知與均為有理數，且和都是無理數，證明： +也是無理數．
錯解：假設+是有理數，則（+）2=，
∵a,bq且+q，∴ q，即、q，這與已知矛盾，
∴+是無理數．
錯解剖析：在反證法證明問題中，假定原結論的反面為真，從反設和已知條件出發，經過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立．而在推理過程中，如果推理不正確或推理不充分，其結論就容易導致錯誤．上述證明過程中，由q不能得出、q，這是不等價的推理過程，從而導致證明過程的錯誤．
正確解答：假設+是有理數，則（+）（）=，
由，，則+>0，即+0，∴，
∵a,bq且+q，∴ q，即（）q，
這樣（+）+（）=2q，從而q，這與已知矛盾，
∴+是無理數．
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