2023年中考幾何證明題探析
冷水江市金星學校潘朝輝
初中《數學課程標準》對幾何部分的要求是能夠借助不同的方法探索幾何物件的有關性質；能夠使用不同的方式表達幾何物件的大小、位置與特徵；能夠在頭腦裡構建幾何物件，進行幾何圖形的分解與組合，能夠對某些圖形進行簡單的變換；能夠借助數學證明的方法確認數學命題的正確性．從內容來看，初中幾何涉及到的知識點有將近100個，這麼多的知識點，複習時怎樣抓住重點是關鍵．從近幾年我市中考試題來看，我市幾何證明題整體變化不大，問題設定基本上都分為兩問，且大多是將有關三角形知識與四邊形知識綜合考查．
（一）近幾年婁底中考幾何證明題考點分析
以上統計表明兩層含義：1、我市近幾年來幾何證明題的重點是三角形與四邊形的有關性質與判定．這些知識點的定理定義多，須在掌握概念的基礎上才有判斷，進而形成推理證明．2、近幾年幾何證明題分值總體是增加的趨勢，接近了最後兩個綜合題的分值．值得注意的是，2023年是在實際生活背景下的幾何證明題，突出了圖形的旋轉的運用，更強調了幾何知識的學習與實際生活的聯絡．下面我列舉了2023年以來婁底市及有關省市的中考幾何證明題，目的是借鑑其他地方的試題，共同與大家探析如何將四邊形的相關知識與三角形中的知識點結合起來．
(二)2023年中考典型例題
例1.（2011婁底，23，9分） 如圖10，在直角三角形abc中，acb=90，ac=bc=10，將△abc繞點b沿順時針方向旋轉90得到△a1bc1.
（1）線段a1c1的長度是 ，∠cba1的度數是 ．
（2）連線cc1，求證：四邊形cba1c1是平行四邊形．
分析：本題考查旋轉變化的性質以及平行四邊形的判定．
解：（1）a1c1=10，∠ cba1=135
（2）證明：∵∠a1c1b=∠c1bc=90，∴a1c1∥bc.
又∵a1c1=ac=bc，∴四邊形cba1c1是平行四邊形.
點評：此題主要考查了旋轉的性質，也考查了平行四邊形的判定，解題的關鍵是利用旋轉的性質得到相等的相等和相等的角，然後利用等腰直角三角形的性質加減問題．
例2.（2012婁底，23，9分）如圖，在矩形abcd中，m、n分別是ad．bc的中點，p、q分別是bm、dn的中點．
（1）求證：△mba≌△ndc；
（2）四邊形mpnq是什麼樣的特殊四邊形？請說明理由．
分析：利用矩形的性質；全等三角形的判定與性質；
直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定．
證明：（1）∵四邊形abcd是矩形，
ab=cd，ad=bc，∠a=∠c=90°，
∵在矩形abcd中，m、n分別是ad．bc的中點，
∴am=ad，cn=bc，∴am=cn，
在△mab≌△ndc，
∵，∴△mab≌△ndc；
（2）四邊形mpnq是菱形，
理由如下：連線an
易證：△abn≌△bam，
∴an=bm，
∵△mab≌△ndc，
∴bm=dn，
∵p、q分別是bm、dn的中點，
∴pm=nq，
∵dm=bn，dq=bp，∠mdq=∠nbp，
∴△mqd≌△npb．
∴四邊形mpnq是平行四邊形，
∵m是ad中點，q是dn中點，
∴mq=an，
∴mq=bm，
∴mp=bm，
∴mp=mq，
∴四邊形mqnp是菱形．
解法二：連線an，mn
∵四邊形abcd是矩形 ∴ad=bc，ad∥bc，∠a=∠adc=∠abc= 90°
∵△mab≌△ndc ∴mb=dn，∠abm=∠ndc
∵p、q分別是mb、nd的中點 ∴mp=nq
∵∠amb= 90°-∠abm= 90°-∠ndc=∠adn ∴mb∥nd
∴四邊形mqnp是平行四邊形 ∵m、n分別是ad、bc的中點 ∴am=bn
∵ma∥nb、∠a= 90° ∴四邊形amnb是矩形 ∴∠mnb=90°
∵p是mb的中點 ∴pn=mb=mp ∴四邊形mqnp是菱形
點評：本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定和全等三角形的性質、三角形中位線定理以及平行四邊形的判定和菱形的判定方法，屬於基礎題目．但解題方法比較靈活，要求學生對相關性質及判定方法的能熟練運用．
例3．（2013 婁底 23，9分）某校九年級學習小組在**學習過程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板abc與afe按如圖（1）所示位置放置放置，現將rt△aef繞a點按逆時針方向旋轉角α（0°＜α＜90°），如圖（2），ae與bc交於點m，ac與ef交於點n，bc與ef交於點p．
（1）求證：am=an；
（2）當旋轉角α=30°時，四邊形abpf是什麼樣的特殊四邊形？並說明理由．
（三）中考趨勢**與複習建議
根據近幾年我市中考幾何證明題的特徵，今年我市中考幾何證明題應該仍在三角形與四邊形的相關知識點交匯處做重點考查．學生存在的主要問題是對相關的幾何知識點不熟悉，不能靈活應用幾何圖形的性質與判定，或者想當然，或者簡單問題複雜化，例如第2題的第二問：證明四邊形mpnq是菱形．較簡單的方法是利用直角三角形的相關性質證明，但學生往往喜歡利用三角形全等證明，其主要原因是學生對基本的幾何性質不熟練，因此複習時應重點抓住幾何圖形的定義、性質、判定等基本知識，要求學生熟練掌握並能靈活應用．其次，根據2023年中考證明題的命題趨勢，應適當加強幾何知識與實際問題結合與應用的練習。
以上是我對2023年中考的一些看法，不妥之處，歡迎各位老師來交流指正。謝謝。
2023年4月20日
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2023年中考數學經典幾何證明題
1.1 如圖1所示，在四邊形中，與相交於點，分別是的中點，聯結，分別交 於點，試判斷的形狀，並加以證明 2 如圖2，在四邊形中，若，分別是的中點，聯結fe並延長，分別與的延長線交於點，請在圖2中畫圖並觀察，圖中是否有相等的角，若有，請直接寫出結論 3 如圖3，在中，點在上，分別是的中點，聯結並延長，...
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