華僑大學資訊科學與工程學院2010-2011學年二學期
課程考試試卷答案(b卷)
課程名稱：訊號與系統考試時間：120分鐘年級：***級
專業： ***
題目部分，（捲麵共有50題，100分，各大題標有題量和總分）
一、證明（50小題，共100分）
1．證明：設系統有n個自然頻率、、…，則
故方程左邊
(a)再看方程右邊
故b)可見式(a)、式(b)完全相等，若自然頻率中有重根，也可用類似方法證明之，此處不再贅述。
2．證明
=0證明用歸納法
3．證明（1）設則又
（2）設則而
綜合（1）（2）故得證
4．證明：
其波形如下圖所示。
在區間內，
即證明了
同時得到
5．證明由於且因而
又由式①=式②可得
命題得證。
6．解這是個等比數列求和問題當時，組數收斂
即，其中
7．證明
在這裡利用了以下公式：
8．證明
為純虛序列，令為實序列
則 是的奇函式，是的偶函式
其奇偶特性都應以為對稱中心。
9．證明
(1)(2)10．證明
即問題得證
11．證明
(1)實偶函式，實偶函式
為實偶函式。
(2)為實奇函式，為虛奇函式
為虛奇函式。
(3)虛偶函式，虛偶函式
為虛偶函式
(4)虛奇函式，實奇函式
為實奇函式。
12．證明：
（1）（2）
{}其中
（3），根據積分性質
（4）==
13．證明：（1）
（2）是復函式，
其中14．解
為實序列
15．解（1）
（2）尺度因子，平移因子
16．解
，，而，所以。
17．證明
是的希爾伯特變換，的幅頻特性與相頻特性如圖(a)所示。
由系統原理框圖得
其頻譜圖如下圖（b）所示。
18．解
(1)巴特沃思濾波器
設10倍頻程衰減為
(2)切比雪夫濾波器
第一類設10倍頻程衰減為
同理：切比雪夫二類濾波器也成立。
19．證明
此濾波器對於與的響應是一樣的。
20．證明：因果系統的衝激響應是個單邊時間函式，即，現將它分解為偶分量和奇分量之和
偶分量奇分量
二者關係
由傅利葉變換性質知，實偶函式的傅利葉變換只有實部，實奇函式的傅利葉變換只有虛部，即則又因
故即同理因故即故
證畢。21．解由題意知，網路函式表示式為
其中設輸入為，輸出為，因為
當時所以
因為當時
表明經過此理想低通的訊號，各頻率分量的幅度沒有發生變化，但有的相移，苦口婆心者說所有分量都有的延遲。
這樣當輸入為時(設相應輸出為)
即證兩個響應是一樣的。
22．證明
23．解
當時，無限長截斷取其有限項時取得最小值。
24．證明
（1）同理：
（2）對作傅利葉變換，利用頻城卷積定理並應用已知關係式
即因果系統的與之間滿足希爾伯特變換關係，實部可被已知的虛部唯一確定。反之也同樣成立。
25．證明n個函式在區間內構成乙個正交函式集，需要滿足
當時，當時，所以（n為整數）是在區間上的正交函式集。
26．證明兩函式在區間內正交的條件是而
（n為整數）
所以與（n為整數）正交，即此函式沒有波形的分量。
27．證明由傅利葉變換的性質可知，若，則有
於是訊號的功率譜
從而命題得證。
28．證明的功率譜為
的功率譜
29．證明（1）兩訊號同時作用於單位電阻時所產生的功率為
兩訊號分別作用於單位電阻時產生的功率為
（2）同時作用單位電阻時所產生的功率
兩訊號分別作用於單位電阻時所產生的功率
同時作用和分別作用所產生的功率不相等。
30．證明設(，且i，j均為整數)為函式集中任意兩個不同元素，則
又故此函式集
所以此函式集在區間(0，2)上為正交函式集。
31．證明前四個勒讓德多項式為
前四個勒讓德多項式在（-1，1）內是正交函式集。又因為
它們沒有規格化。
32．證明已知(n為整數)是在區間的正交函式集。
所以（n為整數）不是區間內的完備正交函式集。
33．解由圖可知
由於由此可知與訊號正交，即與均正交，即此函式沒有波形的分量。
34．證明
設為奇數，共位二進位制位數為奇數，共位二進位制位數。
因為與二進位制的最後一位模二運算為0，為偶數。
與二進位制的模二運算即為前p位或位的對應與，的模二運算再在最後一位添0
設為奇數共位二進位制位數。為偶數，共位二進位制位數。
與二進位制的最後一位模二運算為1，為奇數。
與二進位制的模二運算即對應與的模二運算，再在最後一位添1。
35．證明 (1)
以上證明中運用了模二和運算公式：
(2)以上證明中運用了模二和運算公式：
36．證明
37．證明
=38．證明
39．解 (1)可控陣
可觀陣於是因為
所以 ，
亦即故和不可能同時滿秩，
則該系統不可能同時完全可控和完全可觀。
(2)由
得即1)
即 (2)
即n）設a的特徵值為，，，
則由式(1)(2)，,(n)可得
解之得系統轉移函式
由於所以常數，與無關。
40．證明 (1)
又(2)因為
又而所以(3)由於
於是因此(4)
41．證明由所給狀態方程和輸出方程知：兩系統為單輸入、單輸出系統，因此和均為標量，即的矩陣，因此有，
又於是故有42．43．44．(a)由框圖作出訊號流圖如圖
流圖有兩個環路，且互相接觸
流圖有兩條前向路徑，都與其相連
(b)由框圖作出訊號流圖如圖
流圖只有兩個環路，且互相接觸
流圖有3條前向路徑，且環路都與它們相連
，可見(a)和(b)具有相同的轉移函式。
45．解由圖(a)題有
將代入得
當時，若，則此時近似為一積分器的系統函式。
46．證明：(1)
即又因為實數序列，即只有實部，必有
故證畢。
(2)因為實數序列，故其的各個係數均為實數。
當存在時必然可將寫為乙個z的有理函式的形式，而且分子、分母的各項係數均為實數。
令，即可求出的零點，由於係數均為實數，所以若是的零點，則的共軛複數也必然是的零點，否則就不可能確保為實數。
47．解對於
由得對於
分解得由得
所以，兩者具有相同的。
解釋：用衝激不變法進行的變換，其s平面與z平面之間的對映具有多值性。s平面上每一條寬為的水平帶，重複地對映成整個z平面。
具體來說，衝激不變法反映的是的週期延拓與的關係，而不是本身與的關係。所以，題中兩不相等的具有相同的。
48．證明設，則由dft的定義有
由於，所以上式可改寫為
由於 所以即
的對稱性質得證。
49．證明由週期序列的傅利葉級數可知則從而
由於是實數序列，所以
則的共軛對稱特性得證。
50．證明由於，所以
且有和平共處
利用的共軛性質，可將上式變換為
由式①+式②可得
由式①-式②可得
命題得證。
華僑大學《訊號與系統》證明題題庫 A
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