證明方法非常簡單。對於任意乙個 8 字形，在兩個洞裡各取乙個有理點 p 、 q （由於平面上的有理點是稠密的，這是總能辦到的），則稱這個 8 字形圈住了有理點對 (p, q) 。注意到由於 8 字形不能相交，因此兩個 8 字形不可能圈住同一對有理點。
由於平面上的有理點對是可數的，因此 8 字形的數量也是可數的。
注意到，平面上顯然能夠容下不可數個不相交的直線段，也顯然能夠容下不可數個不相交的圓（比方說一系列同心圓）。在 mathematical puzzles 一書裡， peter winkler 提出了這樣乙個問題：我們能在平面上寫下不可數個不相交的字母 y 嗎？
答案是否定的。下面有乙個漂亮的證明，這是由 randy dougherty 給出的。讓我們先來看乙個經典結論：
假設平面上有三個紅點和三個藍點，那麼我們絕不可能用線條把每乙個紅點和每乙個藍點都連起來，並且保證這 9 根線條互不相交（即使線條可以彎曲也不行，不信的話你可以試一試）。從圖論的角度來說，就是完全二分圖 k3,3 不是乙個平面圖。利用 euler 公式我們可以很快證明這一點：
把乙個平面圖的頂點數、邊數和區域數（包括最外面那個無限大的區域）分別記為 v 、 e 、 f ，則 euler 公式告訴我們 f = e - v + 2 。由於每條邊都同屬於兩個區域，因而所有區域的平均邊數為 2e / f 。在完全二分圖 k3,3 中有 6 個頂點和 9 條邊，若它是乙個平面圖，則它應該有 9 - 6 + 2 = 5 個區域，於是每個區域平均擁有 18/5 條邊。
這說明該圖中至少存在乙個邊數小於 4 的區域，但對於乙個二分圖來說這是不可能的。
我們把乙個 y 看作是由乙個中心點、三個手臂和三個端點構成的。現在，對於平面上的每乙個 y ，我們都給它畫出三個有理圓（圓心的兩座標和半徑的長度都是有理數），讓每個圓都圈住 y 的其中乙個端點，並且不包含 y 的另外兩臂。注意到，平面上的有理點是稠密的，半徑的長度也可以任意小，因此這總是能辦到的。
不過，這些有理圓完全有可能和別的 y 相交，也有可能和別的有理圓相交。我們甚至不能排除這樣的情況：其中乙個 y 的某個有理圓和另乙個 y 的某個有理圓是同乙個有理圓！
不過，下面我們會給大家證明，三個不相交的 y 絕不可能擁有同一組有理圓。
如圖，假設三個 y 對應了同一組圓。我們修改每乙個 y 的每一條臂，讓它在碰到有理圓後直接連線到這個圓的圓心。現在，把三個圓心染成紅色，把三個 y 的中心點染成藍色，則這 9 條（修改後的）手臂就連線了所有可能的紅藍點對。
然而，前面我們已經說過， k3,3 不可能是乙個平面圖。因此，這三個 y 必然會相交。
由於平面上的有理圓是可數的，因而平面上不相交的 y 也必然是可數的。
值得一提的是，我們這裡證明的是乙個相當強的結論：對於所有含有交叉點或者分岔點的圖形，它在平面上都只能畫出可數個（如果不允許相交的話）。這不但可以直接推出平面上不相交的 8 字形是可數的，事實上不相交的 4 或者 6 或者 9 也都只能是可數的。
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