【實驗目的】
1．了解線性規劃問題及其可行解、基本解、最優解的概念。
2．通過對實際應用問題的分析，初步掌握建立線性規劃模型的基本步驟和方法。
3．學習掌握matlab軟體求解有關線性規劃的命令。
【實驗內容】
一家廣告公司想在電視、廣播上做公司的宣傳廣告，其目的是爭取盡可能多地招徠顧客。下表是公司進行市場調研的結果：
這家公司希望總廣告費用不超過750（千元），同時還要求：（1）受廣告影響的婦女超過200萬；（2）電視廣告的費用不超過450（千元）；（3）電視廣告白天至少播出4次，最佳時段至少播出2次；（4）通過網路**、雜誌做的廣告要重複5到8次。
【實驗準備】
線性規劃是運籌學中產生較早的乙個分支，如今在國防科技、經濟學、現代工農業、環境工程、生物學等眾多學科和領域裡起著十分廣泛的應用。
線性規劃是在一組線性條件的約束之下，求某乙個線性函式的最值問題。一般地，線性規劃的數學模型為：
or1 , 21）
0 ,＝1 , 2 , … ,
用矩陣、向量符號，可以簡化線性規劃模型的表示：
則線性規劃問題可寫為：
2）1 , 2 , … ,
這裡，＝稱為目標函式，為目標函式的決策變數，為費用係數，是常數向量； ≤ ( or ＝ , ≥ )稱為約束條件，為線性規劃的係數矩陣，它是常數矩陣，為利潤（費用）向量，其中是subject to的縮寫，意思是「滿足約束條件」。
1．線性規劃的標準形式
線性規劃問題的標準形式為＝3）
任何一種線性規劃都可以等價地轉換為標準形式。
（1）約束條件標準化––––鬆弛變數法
如果約束條件中有不等式：
或通過引入兩個非負變數xn+1，xn+2將上述約束條件轉換成下面等價形式：
或可見約束不等式均可轉換為約束等式。
（2）目標函式的標準化
若原問題是求（）＝，可以轉換為求（）＝－即可。
2．線性規劃問題的解
在（3）中滿足約束條件＝，≥的向量＝（，，…，）』稱為線性規劃問題的可行解，全體可行解組成的集合稱為可行域，使目標函式＝達到最小值的可行解稱為最優解。
如果矩陣的某列所構成的方陣是滿秩的，則的列向量，，…，構成線性規劃的一組基，稱為線性規劃問題的乙個基陣，的剩餘部分組成的子矩陣記為，則可以寫成＝（，）。則相應地可以寫成＝（，）『，的分量與的列相對應，稱為基變數；的分量與的列相對應，稱為非基變數。在約束＝中令所有非基變數取值為零時，得到的解＝（，0）『稱為與相對應的基解。
當基解所有的分量都取非負時，即滿足≥，則稱其為基可行解，相應的基陣的列向量構成可行基。既是最優解，又是基可行解的稱為最優基解。
定理1 如果線性規劃（3）有可行解，那麼一定有基可行解。
定理2 如果線性規劃（3）有最優解，那麼一定存在乙個基可行解是最優解。
以上定理說明了如果所給的線性規劃（3）有最優解，只要從基可行解上尋找最優解就行了。由於基可行解的個數是有限的，只要對所有的基可行解一一檢查，就可以在有限次計算後確定最優解或斷定該問題無最優解。
3．求解線性規劃的matlab命令
（1）matlab5.2及以下版本使用命令
求解線性規劃模型：
4）這裡為×矩陣，為×1列向量，為×1列向量。
（2）matlab5.3以上版本使用命令
matlab5.3以上的版本中優化工具箱（optimization toolbox）作了相當大的改進，雖然保留了lp命令，但已經使用新的命令linprog取代lp，並且在未來版本中將刪除lp命令。
求解的線性規劃模型：
5）【實驗方法與步驟】
建立線性規劃模型有三個基本步驟：
第一步，找出待定的未知變數（決策變數），並用代數符號來表示它們；
第二步，找出問題的所有限制或約束條件，寫出未知變數的線性方程或線性不等式；
第三步，找到模型的目標，寫成決策變數的線性函式，以便求其最大或最小值。
1．引例問題的分析與模型的建立
首先，確定決策變數，要求如何安排白天電視、最佳時段電視、網路**、雜誌廣告的次數，用符號表示，分別設定為，，，；
其次，確定所有的約束條件，廣告總費用不超過750（千元），則有
45＋86＋25＋12≤750
受廣告影響的女顧客數不少於200萬，則有
260＋450＋160＋100≥2000
電視廣告費用不超過450（千元），且白天至少播4次，最佳時段至少播出2次，則有
45＋86≤450 ， ≥4 ， ≥2
由於網路**和雜誌廣告要重複5到8次，則有
5≤≤8 ， 5≤≤8
最後，確定問題的目標函式，由題意知確定廣告編排方案，使得受各種廣告影響的潛在顧客總數：＝350＋880＋430＋180最多。故該問題完整的線性規劃模型如下：
350＋880＋430＋180
45＋86＋25＋12≤750
260－450－160－100≤－2000
45＋86＋0＋0≤450
0＋0＋＋0≤8
0＋0＋0＋≤8
4 ，≥2，≥5，≥5
2．matlab計算機求解
用matlab求解的程式**：
>> c=[-350 -880 -430 -180]; %取－將目標函式標準化
>> a=[45 86 25 12; -260 -450 -160 -100; 45 86 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1];
>> b=[750; -2000; 450; 8; 8];
>> lb=[4; 2; 5; 5];
>> [x , fval]=linprog(c, a, blb, [ ]) %無等式約束條件和的上界，取［］表預設
optimization terminated successfully.
x = 4.0000
3.1395
8.0000
8.0000
fval =
-9.0428e+003
【結果分析】
引例問題的目標函式是求受廣告影響的最多顧客人數，而matlab命令linprog針對線性規劃模型（5）求最小值，那麼我們取－，將目標函式化成標準形式，在求得－＝－的最小值後，我們即可得到的最大值，根據約束條件，受廣告影響的最多潛在顧客人數為9042800人。
在這裡，用命令lp可以求得相同的結果。
【練習與思考】
1．一服務部門一周中每天需要不同數目的雇員：周一到周四每天至少50人，周五和週日每天至少70人，週六至少85人。現規定應聘者需連續工作5天，試確定聘用方案，即周一到週日每天聘用多少人，使在滿足需要的條件下聘用總人數最少。
如果週日的需要量由75增至90人，方案應如何改變？
2．某地液化氣公司兩營業點a和b每月的進氣量分別為9萬 m3（立方）和12萬 m3（立方），聯合**4個居民區a、b、c、d，4個居民區每月對氣的需求量依次分別為7.5萬 m3、4.5萬 m3、6萬 m3、3萬 m3。
營業點a離4個居民區的距離分別為7km、3km、6km、5.5km，營業點b離4個居民區的距離分別為4km、8km、5km、2km。問如何分配供氣量使得總運輸量（萬m3×km）達到最小？
3．某工廠製造甲、乙兩種產品，每種產品消耗煤、電、工作日及獲利如下表所示，現有煤360t（噸），電力200kw·h，工作日300個。請制定乙個使總利潤最大的生產計畫。
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