【本講教育資訊】
一、教學內容：
1、立方根的概念、表示、求法
2、用估算的方法求無理數的近似值
3、用計算器進行開方運算
二、教學目標
1、了解立方根的概念，會用根號表示乙個數的立方根.
2、能用立方運算求某些數的立方根，了解開立方與立方互為逆運算，了解立方根的性質.
3、能通過估算檢驗計算結果的合理性，能估計乙個無理數的大致範圍，並能通過估算比較兩個數的大小.
4、能應用立方根的概念及性質解決實際問題.
三、知識要點分析
1、立方根的概念
（這是重點）如果乙個數x的立方等於a,即，那麼這個數x就叫做a的立方根.數的立方根記作，這裡的「３」是根指數，不能省略．開立方：求乙個數a的立方根的運算，叫做開立方.
被開立方的數可以是正數、負數、0.開立方運算的結果是立方根.
立方根的性質：每個數都有乙個立方根.正數有乙個正的立方根；負數有乙個負的立方根；0的立方根是0.
兩個重要公式：
⑴(a為任意數)；
⑵(a為任意數)．
2、用估算的方法求無理數的近似值
通過估算檢驗計算結果的合理性，主要是依據兩個公式：⑴；（2）(a為任意數)．
估算乙個根號表示的無理數所採用的方法可概括為「逐步逼近」.例如要估算的大小，要求精確到小數點後一位.首先找出與43鄰近的兩個完全平方數，如36＜43＜49，則___＜＜___，由此可得的整數部分是____，然後再由6.
52=42.25，6.62=43.
56，得6.5＜＜6.6，從而知的一位小數應為5，即≈6.
5或6.6.
3、用計算器開方
（這是重、難點）開方運算要用到鍵「」和鍵「」.對於開平方運算，按鍵順序為：「」，被開方數，「＝」；對於開立方運算，按鍵順序為：「」，被開方數，「＝」.
【典型例題】
考點一：立方根的概念
例1：求下列各數的立方根
（1）2 （2）-0.008 (3)-343 （4）0.512
（解析）由立方運算求乙個數a的立方根，先找出立方等於a的數，寫出立方式，再由立方式寫出a的立方根的值，並用數學表示式表示開立方的結果.正數有乙個正的立方根，負數有乙個負的立方根，0的立方根是0.
解：（1）因為2=，（）3=，所以2的立方根為，即=.
（2）因為（-0.2）3=-0.008，所以-0.008的立方根為-0.2，即=-0.2.
(3)因為（-7）3=0.343，所以-343的立方根是-7，即=-7.
（4）因為（0.8）3=0.512，所以0.512的立方根是0.8，即=0.8.
方法與規律:不論是正數還是負數都有乙個立方根.
考點二：用估算的方法求無理數的近似值
例2： 校園裡有旗桿高11公尺，如果想要在旗桿頂部點a與地面一固定點b之間拉一根
直的鐵絲，小強已測量固定點b到旗桿底部c的距離是8m，小軍已準備好一根長12.3m
的鐵絲，你認為這一長度夠用嗎?
（解析）如圖，由題意可知，ac=11m，bc=8m，因為旗桿ac垂直於地面，所以
△abc是直角三角形，由勾股定理可求出ab2的值，用此值與12.32比較大小，即可得出是否夠用.
解：由勾股定理得ab2=ac2+bc2=112+82=185.因為12.32=151.29＜185，
所以＞，因此這一長度不夠用.
方法與規律:利用勾股定理解決實際問題是近幾年中考的熱點問題，往往與求算術平方根相結合，要注意掌握.
例3. 下列估算結果是否正確？為什麼？
(1)≈6.8；(2)≈20.
（解析） 通過估算檢驗計算結果的合理性，一般首先考慮兩個數的數量級是否相同，像第(1)小題，不難看出＞10，結論自然是不難得出；如果兩個數看起來比較接近，再去進行精確度更高的估算.
解：(1)錯，因為＞=10，而顯然6.8＜10；
(2)錯，因為＜=10，而20＞10.
過程與方法：熟記檢驗計算結果的合理性的兩個公式是解決本題的關鍵.
考點三：利用計算器開方
例4. 用計算器求21.52的平方根(精確到0.001)
（解析）先用計算器求出21.52的算術平方根,然後按題意寫出其平方根按鍵順序為:「」，21.52，「＝」，顯示結果為：4.6389654
解：±≈±4.639
方法與規律:掌握用計算器開方的按鍵順序，根據題意準確地寫出結果.
考點四：思維能力拓展
例5: 求下列各式中x的值.
(1); (2).
（解析）通過移項將(1)式化為;將(2)式化為,然後利用立方根的定義求解.
解: (1)∵,∴,∴.
(2) ∵, ,
∴,即,
∴.方法規律總結:解此類題,一般將其化為或的形式,再利用立方根的定義求解.
例6. 已知a=是m+n+10的算術平方根,b=是4m+6n-1的立方根,求b-a的立方根.
（解析）因為a是m+n+10的算術平方根,可知m-n=2;b是4m+6n-1的立方根,m-2n+3=3,通過解方程組求出m、n的值，再求出a、b，問題得以解決.
解：根據題意有
解方程組得，所以a=,b=
所以b-a=3-4=-1,.
方法規律總結:解決此類題的關鍵就是進一步透徹理解算術平方根、平方根及立方根的意義及其表示方法.
例7. 麗麗同學去海南旅遊時買回了一顆珍珠，經測量體積為7.23456立方厘公尺.
現在，她打算做乙個正方體盒子來裝這顆珍珠，那麼盒子的稜長可以為多少厘公尺？請你提供兩個資料供麗麗參考.（球的體積：
r3,其中取3.14）
（解析）當盒子的稜長比珍珠的直徑大時，才能將這顆珍珠裝進正方體盒子裡.
解：設這顆珍珠的半徑為x厘公尺，根據題意，得x3=7.23456,所以x3=1.
728，解得，那麼珍珠的直徑為2.4厘公尺.所以盒子的稜長應略大於2.
4厘公尺，可取2.5厘公尺等.
方法規律總結: 本題屬於結論開放性題目，像這類題目的答案實際上有很多種，只要滿足盒子的稜長大於珍珠的直徑即可.
【本講涉及的數學思想和方法】
本講主要講了立方根的意義及性質、用估計的方法求無理數的近似值和用計算器開方.在學習立方根的意義及性質時，我們利用了模擬的數學思想方法，通過模擬前面學過的平方根的性質來掌握立方根的性質；在利用立方根的概念和性質解決問題時，我們還用到了方程的數學思想.
【模擬試題】（共60分鐘,滿分100分）
一、選擇題(每小題4分,共40分)
1.下列說法不正確的是（ ）
a.-1的立方根是-1 b.-1的平方是1
c.-1的平方根是-1 d.1的平方根是±1
2.下列說法中正確的是（ ）
a.-4沒有立方根b.1的立方根是±1
c.的立方根是d.-5的立方根是
3.在下列各式中： =,=0.1, =0.1, =-27,其中正確的個數是（ ）
a.1b.2c.3 d.4
﹡4.若m<0，則m的立方根是（ ）
abcd.
﹡5.如果是x－6的三次算術根，那麼x的值為（ ）
a.0 b. 3 c.5 d.6
6.已知x是5的算術平方根，則x2-13的立方根是（ ）
a. -13 b.- -13 c.2d.-2
7.在無理數，，，中，其中在與之間的有（ ）
a.1個 b.2個 c.3個 d.4個
﹡8.乙個正方體的體積為28360立方厘公尺，正方體的稜長估計為（ ）
a.22厘公尺 b.27厘公尺 c.30.5厘公尺 d.40厘公尺
﹡9．已知,，則的值等於( )
a．485.8 b．15360 c．0.01536 d．0.04858
﹡﹡10.若+有意義，則的值是( )
a.0 b. c. d.
二、填空題(每小題4分,共32分)
11．-的立方根是 ，125的立方根是 .
12．的立方根是 .
13． =_____.
14．-3是的平方根，-3是的立方根.
﹡15．若，則
﹡16.將數，，，，1按從小到大的順序排列為 .
﹡17.若x<0，則
﹡18. 若x=()3，則=______.
三、解答題(共28分)
19. (本題8分)求下列各式中的x.
(1)125x3=8
(2)(-2+x)3=-216
﹡20. (本題10分)已知第乙個正方體紙盒的稜長為6 cm，第二個正方體紙盒的體積比第乙個紙盒的體積大127 cm3,求第二個紙盒的稜長.
**21. (本題10分) 如圖，公路mn和公路pq在點p處交會，點a處有一所中學，且a點到mn的距離是公尺.假設拖拉機行駛時，周圍100公尺以內會受到雜訊的影響，那麼拖拉機在公路mn上沿pn方向行駛時，學校是否會受到雜訊影響？
說明理由；如果受影響，已知拖拉機的速度為18千公尺/時，那麼學校受影響的時間為多少秒？
【試題答案】
一、選擇題
1.c （解析）負數沒有平方根,所以本題答案是c.
2.d （解析）任何數都有立方根,且乙個數的立方根只有乙個,據此可以排除a,b兩個選項;由於的算術平方根是,故c選項也是錯誤的.
3.c （解析）由於=,=0.1, =-27,故本題答案是c.
4.a （解析）負數的立方根是負數,任意乙個數a的立方根都表示成,故本題答案是a.
5. d（解析）立方根的性質：正數的立方根是正數，負數的立方根是負數.0的立方根是0.本題中6-x的立方根是它的相反數，只有0這種情況.所以6-x=0，所以x=6.
6.d（解析）由題意知x2=5,故x2-13=-8,-8的立方根是-2.
7.d（解析）借助計算器計算知，，，四個數都在與之間.
8.c（解析）正方體體積的立方根就是正方體的稜長.
9. d（解析）開平方時,被開方數的小數點移動兩位,結果的小數點向相同的方向移動一位,故本題答案是d.
10. b（解析）由題意可得=0和=0,得x=,故=.
二、填空題
11. -,5（解析）本題直接根據立方根的概念求解.
12.（解析）即為2的立方根,所以為.
13.（解析）=.
14.9,-27（解析）逆用平方根,立方根的概念求解.
15.0.05 （解析）開立方時,被開方數的小數點移動三位,則結果的小數點向相同的方向移動一位.
16. <<1<<（解析）當x>0時,被開方數越大,立方根越大.
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