第2節單位根檢驗
由於虛假回歸問題的存在，因此檢驗變數的平穩性是乙個必須解決的問題。在第十二章中介紹用相關圖判斷時間序列的平穩性。這一章則給出序列平穩性的嚴格的統計檢驗方法，即單位根檢驗。
單位根檢驗有很多方法，這裡主要介紹df和adf檢驗。
序列均值為0則無c，序列無時間趨勢則無trend
在介紹單位根檢驗之前，先認識四種典型的非平穩隨機過程。
1、四種典型的非平穩隨機過程
（1）隨機遊走過程。
yt = yt-1 + ut , y0 = 0, ut iid(0, 2
其均值為零，方差無限大（?），但不含有確定性時間趨勢。（見圖1a）。
圖1a 由yt = yt-1+ ut生成的序列圖1b 深證成指
（2）隨機趨勢過程。
yt = + yt-1 + ut , y0 = 0, ut iid(0, 2
其中稱作位移項（漂移項）。由上式知，e(y1)= （過程初始值的期望）。將上式作如下迭代變換，
yt = + yt-1 + ut = + (+ yt-2 + ut-1) + ut = … = t +y0 +
yt由確定性時間趨勢項t和y0 +組成。可以把y0 +看作隨機的截距項。在不存在任何衝擊ut的情況下，截距項為y0。
而每個衝擊ut都表現為截距的移動。每個衝擊ut對截距項的影響都是持久的，導致序列的條件均值發生變化，所以稱這樣的過程為隨機趨勢過程（stochastic trend process），或有漂移項的非平穩過程（non-stationary process with drift），見圖2，雖然總趨勢不變，但隨機遊走過程圍繞趨勢項上下游動。由上式還可以看出，是確定性時間趨勢項的係數（原序列yt的增長速度）。
為正時，趨勢向上；為負時，趨勢向下。
圖2a 由yt =0.1+ yt-1+ ut生成的序列圖2b 由yt =- 0.1+ yt-1+ ut生成的序列
因為對yt作一次差分後，序列就平穩了，
yt = yt - yt-1 = + ut （平穩過程）
所以也稱yt為差分平穩過程（difference- stationary process）。是 yt序列的均值，原序列yt的增長速度。
（3）趨勢平穩過程
yt = 0 + 1 t + ut, ut = ut-1 + vt, ( <1, vt iid(0, 2
yt 與趨勢值 0+1t不同，差值為ut。因為ut是平穩的，yt只會暫時背離趨勢。yt+k的長期**值將趨近於趨勢線0+1(t+k)。
所以稱其為趨勢平穩過程（trend stationary process）。趨勢平穩過程由確定性時間趨勢1 t所主導。趨勢平穩過程見圖3，屬於非平穩過程。
趨勢平穩過程也稱為退勢平穩過程，因為減去趨勢後，其為平穩過程，yt - 1t = 0+ ut。
yt = 0 + 1 t + ut不必通過差分變為平穩過程。因為趨勢平穩過程的差分過程是過度差分過程。yt = 1 + ut - ut-1。移動平均特徵方程中含有單位根。
圖3 yt = 0.05+0.1 t + ar(1), =0.8 生成的序列
（4）趨勢非平穩過程
yt = 0+ t + yt-1 + ut , y0 = 0, ut iid(0, 2
其中0稱作位移項（漂移項）， t稱為趨勢項。 上式是含有隨機趨勢和確定性趨勢的混合隨機過程（見圖4）。
圖4 yt = 0.01+ 0.01t + yt-1+ ut, ut iid(0, 2)生成的序列
對上式進行迭代運算(設定y0=0)
yt = + t + yt-1 + ut = + t + [ + (t-1) + yt-2 + ut-1] + ut
= = y0 + t + ( t) t - (1+2 +…+ t) +
= y0 + t + t 2 - ( 1+ t ) t += ( -) t +t 2 +,
趨勢非平穩過程是含有隨機趨勢和確定性趨勢的混合過程。趨勢項中包括t的1次和2次項。這種過程在經濟問題中非常少見。
下面分析隨機趨勢過程與平穩的ar(1)過程的區別。對於如下過程：yt = 0 + 1 yt-1 + ut
當1 = 1時，yt是乙個隨機趨勢過程；當1 1時，yt是乙個均值為的平穩過程。
隨機趨勢過程yt = 0.1 + yt-1 + ut和帶有漂移項的平穩過程yt = 4 +0.6 yt-1 + ut的比較見下圖。
差別在於隨機趨勢過程的自回歸係數為1，帶有漂移項的平穩過程的自回歸係數絕對值小於1。
圖5 隨機趨勢過程和帶有漂移項的平穩過程的比較
2、df分布
（1）df統計量的分布特徵
三個簡單的自回歸模型：
=，y0 = 0，ut iid(0, 213.1）
=，y0 = 0，ut iid(0, 213.2）
=，y0 = 0，ut iid(0, 2) （13.3）
其中是漂移項，是趨勢項。當真值 < 1時，yt 是平穩的，當 = 1時，yt 是非平穩的。
現在以（13.1）式為例，討論的分布特徵如何。
若 = 0，統計量= t (t-1)，其極限分布為標準正態分佈。
若 < 1，統計量=漸近服從標準正態分佈。
當 = 1時，變數非平穩，上述極限分布發生退化（方差為零）。
定義df統計量為
（2）df統計量的分布特徵與百分位數表
採樣本容量t = 100，分別用（13.3）、（13.2）和（13.
1） 各模擬10000次得到的df的分布見圖11。紅、綠、黑色直方圖分別代表對應式子df統計量的分布。隨著確定項的增加，分布越來越向左移。
黑色df分布近似於t分布，但整體向左大約移動了1.6個單位。
圖11 df統計量分布的蒙特卡羅模擬
full (1976) 用蒙特卡羅模擬方法得到df統計量的百分位數表，見附表5。
（3）進一步討論
以上三個自回歸模型對於研究實際經濟變數太嚴格，還應該進一步討論在ar(p) 模型條件下，隨機誤差項非白雜訊條件下，檢驗用統計量的分布特徵。
（i） 對於ar(p)過程
yt=1yt-1+2yt-2+…+pyt-p+ ut13.4）
當yt中含有單位根時，可以通過如下模型研究 = 1條件下，檢驗用統計量df的分布特徵。
yt=yt-1++ ut13.5）
其中 =，j* = -, j = 1, 2, …, p – 1。
i 為（13.4）式中的自回歸係數。為什麼可以通過（13.5) 式進行研究呢？看乙個例子。
yt = 1 yt-1 + 2 yt-2 + 3 yt-3 + ut
上式右側同時加減 2 yt-1，3 yt-1，3 yt-2 然後合併同類項，
yt = 1 yt-1 + 2 yt-1 + 3 yt-1 - 2 yt-1 + 2 yt-2 - 3 yt-1 - 3 yt-2 + 3 yt-2 + 3 yt-3 + ut
1 + 2 + 3) yt-1 - 2 yt-1 - 3 yt-1 - 3 yt-2 + ut
1 + 2 + 3) yt-1 - (2 + 3) yt-1 - 3 yt-2 + ut
yt-1 - 1* yt-1 - 2* yt-2 + ut
yt-1+ ut
其中 =，
j* =, j = 1, 2 。
(13.5) 式中的df統計量的分布與yt =yt-1 +中的df統計量的分布近似相同。 (13.
5) 式中的差分項 yt-j , j = 1,2, …, p – 1之所以不會對df統計量的分布產生影響是因為當 yt i(1)，則全部的 yt-j i(0)。yt與 yt-j的交叉積漸進被忽略，從而使兩式中的df統計量的分布漸近相同。
當模型（13.4）中含有位移項和趨勢項時，相應於的df統計量的分布分別與模型（13.2）和（13.3）的df統計量的分布漸近相同
（ii）現在進一步放寬對yt的限制。考慮如下ar(1) 過程
yt=yt-1+ut13.6
其中允許yt是乙個arma(p, q)，隨機項ut是乙個ma(q) 過程（即誤差項ut中的自相關），甚至引數 p, q 的值也可未知。則可以用下式研究和df統計量的分布。
yt= yt-1+ yt-i13.7)
若 = 1，上式是乙個差分的ar(k) 過程。加入yt 滯後項的目的是捕捉 (13.6) 式誤差項ut中的自相關。
（ut的自相關項對於模型 (13.6) 來說是移動平均項，所以yt滯後項的加入可以捕捉之。）因為可逆的移動平均過程可以轉化為乙個無限階的自回歸過程，從而使近似為乙個白雜訊過程。
said-dickey (1984) 證明 (13.7) 式中的df統計量的分布與（13.6）式中的df統計量的分布類似。
當 (13.7)式中加入位移項和趨勢項 t時， 的df分布類似。
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