一、單位根檢驗
（一）單位根過程
若乙個時間序列的均值或自協方差函式隨時間而改變，則該序列為非平穩序列。（即序列含有某種變動趨勢）
隨機過程若
（1）當＝1，為一穩定過程，且，，，則稱該過程為單位根過程（unit root process）。
特別地，若
(2)其中為獨立隨機分布，且，。則為一隨機游動過程（random walk process）隨機游動過程是單位根過程的特例。
若隨機過程的一階差分過程（）為一平穩過程，則服從單位根過程（即經過一階差分後，由非平穩變為平穩的過程）。分別以和表示單位根過程和平穩過程，則可取，記為
若單位根過程經過一階差分成為平穩過程，則序列成為一階單整序列。
一般地，如果非平穩序列經過d次差分達到平穩，則稱其為d階單整序列（單位根調整），記作i(d)。其中d表示單整階數，是序列包含的單位根個數。
對於（1）式可以寫成
(3) t=1，2，．．．
其中l為滯後運算元，即後移運算元，為滯後多項式，它的特徵方程為
。有根，當時，特徵方程的根為1，即有一單位根。這也就是稱為「單位根過程」的原因。單位根過程是常見的非平穩過程之一。
（二）基本模式
隨機序列有三種基本模式:
1.不含常數項和趨勢項
（4）若，序列{}為單位根過程，
若<1 ，則序列{}稱為一平穩過程。
2．含有常數項和無趨勢項
（5）若，序列為帶常數項的單位根過程，若<1，序列為含常數項的平穩過程。
3．同時含有常數項和趨勢項
（6）若，序列稱為同時含有常數項和趨勢項的單位根過程，
若<1 ，序列稱為同時含有常數項和趨勢項的平穩過程
（三）單位根檢驗
1． 迪基—福勒（df）檢驗法
迪基—福勒（df）檢驗法是迪基（dickey）和福勒（fuller）在20世紀70年代和80年代提出的。其基本思想是：對於一階自回歸模型ar（1）
若<1，則序列是平穩的。
若，序列非平穩，存在單位根。
因此，通過檢驗是否為1，判序列是否平穩。
則遞推形式：
為保證過程平穩，上式必須收斂，則必須滿足<1。
df檢驗的步驟：
建立假設
計算統計量 （8）
其中為得最小二乘估計值，為的標準差。
在實際檢驗時，由於存在自相關，常為（4）式改寫為
9）其中，檢驗的假設為
檢驗的統計量 （10）
注意：在序列存在單位根的假設下，並不服從常規的t分布，而是非標準和非對稱的極限分布。因此不能用t檢驗法檢驗零假設是否成立。
df於2023年給出了檢驗用的模擬臨界值，故該檢驗成為df檢驗。在eviews中給出的是由mackinnon改進的單位根臨界值。
對於給定的樣本量n和顯著性水平，在表中查出。若
,拒絕h0，即序列平穩。
，接受h0,則序列為單位根過程，需要進行一階差分。
根據序列的性質不同,df檢驗除(9)外,還允許序列有如下兩種形式:
(11)
(12)
一般地,若序列在0均值上下波動,則選用(9)式檢驗；
若序列具有非0均值且無時間趨勢,可選擇(11)式；
若序列具有非0均值且有時間趨勢,可選擇(12)式
2.增廣的迪基-福勒(adf)檢驗
adf(augmented dickey –fuller test),它取檢驗單位根的df方法推廣到一般的單位根過程,其中的{}服從一穩定過程。而df檢驗中，對於（9）式常因序列存在高階滯後相關而破壞是白雜訊的假設，adf對此改進。
假定序列服從ar(p)的單位根過程，在模型中加入的滯後差分項，控制高階自相關。
（13）
其中{}為獨立同分布，且e()=0, d()= e()<
或 （14）
（15）
將（13）（14）（15）式改寫為：
（16）
（17）
（18）
adf檢驗與df檢驗的假設及檢驗標準相同。
注意，實際操作中，p視具體情況而定，一般選擇能保證是白噪音的最小p值（eviews中aic或sc最小值）。df是adf的特例。
為判別序列是否為單整的，尚需對其差分序列進行單位根檢驗。
利用eviews軟體進行單位根檢驗
（1） df檢驗
在主選單選擇quick/series statistics/unit root test. 螢幕提示需輸入待檢驗序列名，單擊ok後便進入單位根檢驗定義對話方塊。進行df檢驗，p輸入0。
檢驗方程的形式——常以c、t和n分別表示常數項、同時含常數項和趨勢項以及無常數項和趨勢項三種型別。
（2） adf檢驗
只需在單位根檢驗對話方塊中改變p的賦值，p不為0（選擇是aic或sc較小的p值）。
3 pp檢驗
df, adf檢驗適用於不存在高階自相關的序列。
針對序列可能存在高度相關的情況pillips和perron於2023年提出了一種檢驗法—pp檢驗法。
檢驗方程如：
（19）
該檢驗對方程中係數的顯著性檢驗統計量t進行了修正，檢驗假設與df、adf相同：序列存在單位根，即，eviews採用newey—west異方差和自相關一致估計，檢驗統計量
其中 ，，
分別是係數的檢驗t統計量和標準誤差，是檢驗方程的估計標準誤，t是時期總數，q是截尾期。
針對不同性質的序列，pp檢驗也有含常數項，含常數項和趨勢項以及不含常數項和趨勢項三種檢驗型別。
eviews實現：在單位根檢驗定義對話方塊中，把test type下的選項改為pillips-perron，就會自動根據序列樣本量在truncation-lag中給出推薦的q值。其它與adf相同。
舉例我國國內生產總值和農村居民最終消費額**調整後資料
為了使各變數盡快趨於平穩，通常原始資料進行對數變換。
計算結果
各變數adf單位根檢驗結果表
注：表中c表示常數項，t表示趨勢項，p滯後期數。
即在5％的顯著性水平下，序列lgdp、ljx的adf檢驗值均大於其對應的臨界值，表明存在單位根，即它們都是非平穩序列；而序列▽lgdp、▽lnjx的adf檢驗值均小於其對應的臨界值，表明不存在單位根，即它們都是平穩序列。因此lgdp、ljx均是一階單整序列
二、格蘭傑檢驗
（一）基本原理
格蘭傑檢驗的基本依據是：將來不能**過去；如果y的變化是由x引起的，則x的變化應該發生在y之前。
設兩個平穩變數序列和，建立關於的滯後模型
其中c為常數項，s,k為滯後階數。檢驗x的變化不是y的變化的原因相當於上式作零假設…的f檢驗。檢驗統計量f為：
~ 若檢驗統計量f值大於f分布臨界值(即f值伴隨概率小於顯著性水平)，則拒絕零假設，說明x是y變化的格蘭傑原因；否則，接受零假設，說明x不是y變化的格蘭傑原因。
（二）注意問題
1、檢驗結果對滯後期長度的變化比較敏感。實際應用中，最好是多選幾個不同的滯後期進行檢驗，如果檢驗結果一致，則得出的結論是較為可靠。
2、可能還有x以外的其它變數也是引起y變化的原因，同時該變數也與x相關；解決的方法是在回歸模型中也引入這些變數的滯後值。
（三）eviews軟體實現：
在陣列視窗中點選view\ granger causality，並輸入滯後期長度k（軟體預設s=k）。
例利用上資料：
下面選擇滯後期，對lgdp及lnjx兩序列進行格蘭傑因果關係檢驗，結果如下表所示。
表3-4 序列lgdp和lnjx的格蘭傑因果關係檢驗表
給定5%的顯著性水平，對於兩原假設，f統計量的相伴概率均較小，可以認為序列ljx和lgdp之間存在雙向的格蘭傑因果關係，即農村居民最終消費是經濟增長變動的格蘭傑原因，同時經濟增長也是農村居民最終消費變動的格蘭傑原因。
三、協整
若序列經過差分後變平穩,則稱該序列為單整序列。經過d階差分變平穩，該序列即為d階單整序列。
單整序列的法則：
（1）若～，則～；d=0,1,……
（2），且d>e,則
其中：d=0，1，……。
㈠ 定義
有些變數時間序列，雖然它們自身是非平穩的，但變數間的線性組合卻是平穩的。這個線性組合反映了變數之間長期穩定的比例關係，稱為協整關係（cointegration）。若，
其中，，
且具有零均值，則由單整序列的法則知：，
構造的線性組合
所以且具有零均值，表明具有協整關係。
注意：對於兩個變數序列，只有在它們是同階單整即i（d）時，才可能存在協整關係(此點對多變數協整不適用)。
㈡ eg檢驗
由engle和granger於2023年提出了用於兩個變數是否存在協整關係的檢驗方法，又稱eg檢驗法。
設兩個變數序列為
， 若用乙個變數對另乙個變數進行回歸，得到
利用ols法得到和估計殘差
若（即為平穩序列），則具有協整關係。為協整向量； 為協整回歸方程
實際上，上述檢驗過程為：
1 對兩變數是否為同階單整序列進行檢驗，這是協整檢驗的前提，方法（a）df檢驗。
2 建立兩個變數序列的回歸，計算出
3 殘差序列的單位根檢驗，方法（a）df。
若殘差序列是平穩的，即，表示是協整的；
若殘差序列非平穩，即存在單位根。則不是協整的。
即構造殘差的一階自回歸模型（可以有三種情況）
採用的檢驗方法為（a）df。注意此處檢驗的臨界值與變數個數有關，其臨界值可查表（易丹輝）。由兩個變數統計的回歸殘差檢驗統計量記為eg（2）。
（即決定殘差的變數個數,即原方程中變數個數，包括含解釋變數和被解釋變數）
單位根檢驗詳解
第2節單位根檢驗 由於虛假回歸問題的存在，因此檢驗變數的平穩性是乙個必須解決的問題。在第十二章中介紹用相關圖判斷時間序列的平穩性。這一章則給出序列平穩性的嚴格的統計檢驗方法，即單位根檢驗。單位根檢驗有很多方法，這裡主要介紹df和adf檢驗。序列均值為0則無c，序列無時間趨勢則無trend 在介紹單位...