第二講導數與微分
一、考試要求
1、 理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關係，理解(了解)導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義（經濟意義，含邊際和彈性），會用導數描述一些物理量，理解函式的可導性與連續性之間的關係。
2、 掌握導數的四則運算法則和復合函式的求導法則，掌握基本初等函式的導數公式，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函式的微分。
3、 了解高階導數的概念，會求簡單函式的高階導數。
4、 會求分段函式的導數。會求隱函式和由引數方程（*）所確定的函式及反函式的導數。
二、內容提要
1、 導數與微分的定義
（1）導數的定義：
（2）左右導數：
（3）幾何意義：切線
法線 （4）微分的定義：若
則 dy=a
2、 導數與微分的運算法則
3、 求導方法
（1）復合函式求導：設y=f(u), u=(x), 則y=f[(x)]
（2）引數方程求導：,
（3）隱函式f(x,y)=0求導：三種方法：直接求導、公式法、
微分形式不變性
（4） 對數求導(適用於冪指函式、多項連乘除的情形）
(5) 高階導數
(6) 抽象函式、隱函式求二階導數
三、 重要公式與結論
1、一般地，1)
2)3)這裡2、f(x)在x處可微 f(x)在x處可導
3、若f(x)在x=處連續，且
若fˊ(x)在x=處連續，且
若f″(x)在x=處連續，且
若f(x)在x=處連續，且
若f(x)在x=處連續，且不存在
4、可導的偶（奇）函式，其導函式為奇（偶）函式.
可導的週期函式，其導函式為同週期的函式.
5、注：在處有
則（一階微分方程）
6、可微可導連續
7、設，則在處可導的充分必要條件為
設，則在處可導的充分必要條件為
8、常見導數不存在的情形
1）、在x=處導數不存在，但在處可導
2）， 在x=0處當α>1時導數存在；α≤1時導數不存在.
四、 典型題型與例題
題型一、有關導數的定義及性質
1、 分段函式在分界點處的導數
2、 已知極限求，或已知求極限
3、 涉及抽象函式的導數
4、 抽象函式沒給出可導的條件，考察在某點處的可導性或導函式
例1、設，則在處可導的為（ ）
（a）存在 （b）存在
（c）存在 （d）存在
例2、設在處連續，且，則（ ）
例3、（0634）設在處連續，且，則
（a）且 （b）且
（c）且 （d）且
例4、(04123) 設函式連續，且，則存在，使得
（a）在內單調增加 （b）在內單調減少
（c）對 （d）對
例5、設是以4為週期的函式 ，且，則
例6、設可導，自變數在處取得增量時相應的函式增量的線性主部為0.1， 則（ ）
（a） -1 （b） 0.1 （c） 1 （d）0.5
例7、 設函式f(x)在x=1處連續，且是週期為2的週期函式，滿足求曲線y=f(x)過點x= -1處的切線方程為
例8、曲線與曲線相切，則=
(a)4eb)3ec)2ed)e
題型二、 分段函式的導數
方法：1、利用
2、設，則在處可導的
充分必要條件為
3、設，則在處可導的充分必要條件為
例9、設在處可導，求
例10、設，則在處
（a） 不連續b） 連續但不可導
（c） 可導但在不連續 （d） 可導且在連續
例11、求函式的不可導點。
例12、（034） 設，其中在處連續，則是在處可導的
（a） 充分必要條件 （b） 必要但非充分條件
（c） 充分但非必要條件 （d） 既非充分也非必要條件
題型三、 變限積分求導
方法：1、
2、若被積表示式中含有，提出
再令，使被積表示式中不含有。
例13、求
例14、.設求.
例15、設連續，（為常數），求，並討論在處的連續性
題型四、 利用導數公式及法則求導
1、 熟記16個求導公式
2、 四則運算法則
3、 反函式求導法則
4、 復合函式求導法則
5、 隱含數求導法則
6、 引數方程所確定函式的導數（極座標）
注：1、直接求導或微分
2、多項乘積的導數可考慮對數求導法
3、區別
例16、設方程確定y是x的函式，求
3、公式法
例17、設函式由確定，求
例18、（022）已知曲線的極座標方程是，求該曲線上對應處的切線與法線的直角座標方程。
題型六、 高階導數
方法：1、數學歸納法
2、重要函式的高階倒數公式
3、萊布尼茲公式
4、冪級數展開（泰勒公式）
例19、（0023）求的。
法一、用萊布尼茲公式，時
時，法二、泰勒公式
例20、（102）函式處的階導數=.
【答案】 應填.
【分析】利用函式的高階導數公式.
【詳解】 . 令，得所求n階導數為,
故應填.
【評注】此題也可用的麥克勞林展開式，比較係數得到結果.
題型七、 隱函式求導、引數方程確定函式的求導
例21、（103）設可導函式y=y (x)由方程確定, 則
例22、（101）設，求.
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