關於導函式的連續性問題
在數學中有乙個達布定理（可把它稱為導函式的介值定理）。
1. 達布定理：設在可導，，則對於和之間的任意實數，在內至少存在一點，使得。
證明：設，則在可導，，
因為是和之間的任意實數，所以和一定異號，
若設，則
因為，根據極限的區域性保號性，則
，根據極限的區域性保號性，則
所以，與都不是的最小值，因為在上是連續的，所以在上一定存在最值。
設的最小值在點取得，則，即，即。
通過以上證明，達布定理其實就是說明了，若函式在上可導，雖然在上不一定連續，但是在上可取和之間的任何值。
2． 達布定理的推廣------（又稱導函式的零點定理）：設在可導，異號，則至少存在一點使得。（證明同上）
即根據導數的定義式證明，和不是最值。
必須注意：達布定理不是教學的基本內容，屬於考研大綱超綱範圍，在考試中不能直接拿來用，必須從原始開始證明。
3． 達布定理的應用：運用達布定理可間接得出結論，若函式在上可導，在上不可能存在第一類間斷點，也不可能存在第二類間斷點中的無窮間斷點，只可能存在第二類中的振盪間斷點。
也就是說，若在可導，是的間斷點，則是的第二類間斷點。
我們知道間斷點有三種情況：（1）在沒有定義。
（2）雖在有定義，但不存在。
（3）雖在有定義，且存在，但。
下面我們就來證明：若在可導，是的間斷點，則是的第二類間斷點。
證明：因為已知在可導，，所以在點一定有定義，即存在，也就是說間斷點只有後兩種情況，我們先來證明第三種情況，即假設存在時，看和的關係，若不等就是第一類中的可去間斷點，若相等則在點連續。
我們可以更細化一點，假設左右極限分別存在，不一定相等，即：
因為：， 根據拉格朗日中值定理：
所以（以上也可以直接用洛比達法則來證：）
即成立， 同理可證： 也成立
因為已知存在，所以，即成立
當，存在時，成立
說明點不可能是第一類中的可去間斷點，也不可能是第一類中的跳躍間斷點。
（可去間斷點：極限值存在，不等於函式值。跳躍間斷點：左右極限都存在但不相等）。
根據以上證明過程我們可以得乙個重要結論：
若，存在，存在，一定成立，也就是說，當函式在點的函式值和點的左右極限值都存在時，左右極限值一定相等，且等於函式值，即導函式在點一定連續。
下面我們繼續證明：若在可導，是的間斷點，則是的第二類間斷點。
上面證明說明了間斷點中的第三種情況不成立，即只要左右極限同時存在就一定是連續的，同是間斷點矛盾，所以當已知是的間斷點時，在的左右極限不可能同時存在，至少有乙個不存在。
那現在間斷點的型別只剩第二種情況：即雖在有定義，但不存在。
極限不存在有兩種情況：（1）（無窮間斷點）（2）振盪間斷點
根據達布定理，導函式可以取端點值之間的任何值，也就不可能是第二類中的無窮間斷點。
所以只能是的第二類間斷點中的振盪間斷點。
重要結論：
（1）若函式在上可導，雖然在上不一定連續，但是在上可取和之間的任何值。
（2）（又稱導函式的零點定理）：設在可導，異號，則至少存在一點使得。
連續函式的零點定理要求函式在上一定連續，但是導函式的零點定理不要求在上一定連續。
（3）若，存在，存在，一定成立，即函式在一定連續。
（4）若函式在可導，則它的導函式可能連續（連續條件(3)）、也可能不連續有間斷點，這個間斷點只能是第二類間斷點中的振盪間斷點。
例如函式：是其振盪間斷點。
， 以上結論都不是定理(達布定理是定理，但對我們是超綱內容)，在考試過程中必須證明後才能運用，不能當做定理直接使用。
關於原函式的一些問題
1． 連續函式必有原函式，且原函式必連續且可導。
即函式在區間x上連續，則在區間x必有原函式，其中乙個原函式可以用變上限積分函式來表示，是區間x上任意取定的一點，而原函式的全體則可以用不定積分來表示。
以上所說的區間可以是閉區間，也可以是有限開區間或無限區間的。
2． 有第一類間斷點的函式沒有原函式。
證明：設定義在，是的第一類間斷點，則在不存在原函式。
證明：用反證法，設在存在原函式，則在可導，，且是的第一類間斷點，同推論1矛盾，因此在不存在原函式。
3． 函式有第二類間斷點，則原函式存在性不確定（可存在、可不存在）。
即不連續的函式也可以有原函式，若乙個不連續的函式存在原函式，這個間斷點只能是振盪間斷點。但是有振盪間斷點的函式不一定有原函式。
有振盪間斷點的不連續函式可以有原函式的例項：
有振盪間斷點的不連續函式沒有原函式的例項：
在包含點的任意區間上都不存在原函式。
具有振盪間斷點的函式什麼時候有原函式，什麼時候沒有原函式，這不是高等數學討論的範疇，我們只需要知道這個結論就可以。
關於原函式存在和積分的關係：
1．乙個函式的原函式與不定積分的關係是怎樣的？
答：若在區間上有，則是在區間上的乙個原函式．又因為（c為任意常數），所以函式的原函式有無窮多個。
而所有的原函式才是在區間上的不定積分．只要知道的乙個原函式，加上任意常數就得到的不定積分，即．
可見原函式與不定積分不是等價的，但卻是有聯絡的．
2． 原函式存在與可積分的關係：
原函式存在不一定可積分，可積的函式不一定存在原函式，兩者是不同的概念，原函式存在對應著不定積分，可積分對應著定積分。
比如，它在[-1,1]上就不可積。但是它的原函式是明顯存在的。
可積分的函式，可能積出來的是乙個無窮級數之類的東西，不能用有限的簡單函式表示出來，這樣它雖然可積分,原函式卻並不存在。
例如函式，不定積分積不出來，即原函式不存在，但是的值確是可以求出來的，這是數學上誤差函式，可查表求具體值。
歸根揭底，這是因為原函式存在的條件與可積分的條件是不一樣的，
原函式存在的條件： （1） （2） （3）
可積分的條件：可積不要求連續 ，只要求有有限個第一類間斷點即可。
所以可積函式不一定有原函式，有第一類間斷點（可去間斷點或跳躍間斷點）的函式可積分，但是必定沒有原函式．
3. 變限積分表示的函式不一定是原函式。（連續函式的變限積分是被積函式的乙個原函式）。
變上限函式未必是f(x)的原函式，因為不是所有的積分上限函式求導以後都等於f(x)的，比如若f(x)有有限個第一類間斷點， 求出來的變上限函式f(x)在那些間斷點上實際上是不可導的，這個時候就不能滿足f'(x)=f(x)
而只有當f'(x)=f(x)時我們才能說f(x)是f(x)的原函式。
只有當f(x)連續時才能保證其積分上限函式f(x)可導且導數等於f(x)這時才能稱f(x)有原函式。
這就是可積和存在原函式的區別：
由此可見存在原函式是比可積更強的性質，那麼相應的要求也就更高，
存在原函式要求連續，可積不要求連續 ，只要求有有限個第一類間斷點即可。
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