@ 第十講常微分方程
一、 考試要求
1、了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。
2、掌握變數可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的解法。會解伯努力方程和全微分方程，會用簡單的變數代換解某些微分方程。會用降階法解下列形式的微分方程：
y(n)=f(x),y//=f(x,y/)和y//=f(y,y/).
3、掌握(會解)二階常係數齊次線性微分方程的解法，並會解某些高於二階的常係數齊次線性微分方程。
4、理解(了解)線性微分方程解的性質及解的結構定理，會解自由項為多項式、指數函式、正弦函式、余弦函式以及它們的和與積的二階常係數非齊次線性微分方程 。
5、了解差分與差分方程及其通解與特解等概念。
6、掌握一階常係數線性差分方程的解法。
7、會用微分方程和差分方程求解簡單的經濟應用問題。
8、會解尤拉方程。
9、會用微分方程解決一些簡單的應用問題。
二、內容提要
（一）、一階微分方程
1 可分離變數微分方程
或直接積分：
2 齊次方程
3 一階線性微分方程
或4 貝努里方程
5 全微分方程
6 可用簡單變數代換求解的微分方程
（二）、可降階的高階微分方程
1 , 連續積分n次
2 ,
3 ,
（三）、高階線性微分方程
1、 (1)
2) 解的性質、結構
2、常係數線性齊次方程
(1)特徵方程，特徵根三種情況：
(2)3、二階常係數線性非齊次方程
(1) , 特解：
(2), 特解：
(3) , 特解：
4、 尤拉方程
令5、 微分方程組
，一般化為二階常係數線性微分方程求解.
三、 典型題型與例題
題型一、一階微分方程的求解
解題步驟： (1) 判斷方程的型別； (2) 注意；
(3) 若不能確定型別，考慮用適當的變數代換.
例1、 (98 1) 已知函式y=y(x)在任意點x處的增量, 且當時，是的高階無窮小量，, 則y(1
例2、求。
例3、求的通解。
例4、（99）設有微分方程，其中,試求在內連續的函式y=y(x)，使之在和內都滿足所給方程且y(0)=0.
例5、 求微分方程的乙個解y=y(x)，使得由曲線y=y(x)與直線x=1,x=2以及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周的旋轉體體積最小.
例6、解微分方程;
例7、;
例8、例9、
解1、a 用曲線積分法:
b 用全微分運算:
c 用偏積分法:
原方程的通解為
注：全微分方程的解法：
則存在1、曲線積分法：
2、全微分的運算。
3、偏積分法
，則，，
， 題型
二、可降階的高階微分方程
例10、(001) 微分方程的通解為____,
例11、 (99 1) 設函式y(x)(x0)二階可導且過曲線y=y(x)上任意一點p(x,y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為s1, 區間[0,x]上以y=y(x)為曲線的曲邊梯形面積記為s2. 並設,求此曲線的方程.
例12、
題型三、高階常係數線性微分方程的求解
1、二階常係數齊次線性微分方程的解
2、二階常係數非齊次線性微分方程的解
方法：1）求特徵方程的根
2）寫出齊次方程的通解
3）求出非齊次方程的乙個特解
4）寫出非齊次的通解
例13、
例14、
例15、
例16、 (002)具有特解的3階常係數齊次線性微分方程是
例17 （10123）3階常係數線性齊次微分方程的通解為.
例18、 設都是某二階常係數線性微分方程的解，則此二階常係數齊次線性微分方程為
例19*、(綜合題) 設在(-1,+)上具有連續的一階導數，且滿足f(0)=1及
求,並證明：當x>0時，有
高等數學考研知識點總結
第二講導數與微分 一 考試要求 1 理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關係，理解 了解 導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義 經濟意義，含邊際和彈性 會用導數描述一些物理量，理解函式的可導性與連續性之間的關係。2 掌握導數的四則運算法則和復合函式的求導法則，掌握基...
高等數學考研知識點總結
第三講不定積分 一 考試要求 1 理解原函式概念，理解不定積分的概念 2 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質及換元積分法與分部積分法。3 會求有理函式 三角函式有理式及簡單元理函式的積分 數 一 二 二 內容提要 1 概念與性質 1 原函式 2 不定積分 3 性質 1 或 2 或一般地，3 ...
高等數學考研知識點總結
第八講多元函式微分學 一 考試要求 1.理解多元函式的概念，理解二元函式的幾何意義。2.了解二元函式的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上連續函式的性質。3.理解多元函式偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。4.理解方向導數與梯度的概念並掌握其...