立體幾何知識點整理
一． 直線和平面的三種位置關係：
1. 線面平行
符號表示：
2. 線面相交
符號表示
3. 線在麵內
符號表示：
二． 平行關係：
1. 線線平行：
方法一：用線面平行實現。
方法二：用麵麵平行實現。
方法三：用線面垂直實現。
若，則。
方法四：用向量方法
若向量和向量共線且l、m不重合，則。
2. 線面平行：
方法一：用線線平行實現。
方法二：用麵麵平行實現。
方法三：用平面法向量實現。
若為平面的乙個法向量，且,則。
3. 面面平行：
方法一：用線線平行實現。
方法二：用線面平行實現。
三．垂直關係：
1. 線面垂直：
方法一：用線線垂直實現。
方法二：用麵麵垂直實現。
2. 面面垂直：
方法一：用線面垂直實現。
方法二：計算所成二面角為直角。
3. 線線垂直：
方法一：用線面垂直實現。
方法二：三垂線定理及其逆定理。
方法三：用向量方法
若向量和向量的數量積為0，則。
三． 夾角問題。
(一) 異面直線所成的角：
(1) 範圍：
(2)求法：
方法一：定義法。
步驟1：平移，使它們相交，找到夾角。
步驟2：解三角形求出角。(常用到餘弦定理)
餘弦定理：
(計算結果可能是其補角)
方法二：向量法。轉化為向量的夾角
(計算結果可能是其補角)：
(二) 線面角
(1)定義：直線l上任取一點p（交點除外），作po於o,鏈結ao，則ao為斜線pa在麵內的射影， (圖中)為直線l與面所成的角。
(2)範圍：
當時，或
當時，(3)求法：
方法一：定義法。
步驟1：作出線面角，並證明。
步驟2：解三角形，求出線面角。
(三) 二面角及其平面角
(1)定義：在稜l上取一點p，兩個半平面內分別作l的垂線（射線）m、n，則射線m和n的夾角為二面角—l—的平面角。
(2)範圍：
(3)求法：
方法一：定義法。
步驟1：作出二面角的平面角(三垂線定理)，並證明。
步驟2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步驟1：如圖，若平面poa同時垂直於平面，則交線(射線)ap和ao的夾角就是二面角。
步驟2：解三角形，求出二面角。
方法三：座標法(計算結果可能與二面角互補)。
步驟一：計算
步驟二：判斷與的關係，可能相等或者互補。
四． 距離問題。
1．點麵距。
方法一：幾何法。
步驟1：過點p作po於o，線段po即為所求。
步驟2：計算線段po的長度。(直接解三角形；等體積法和等面積法；換點法)
2．線面距、麵麵距均可轉化為點面距。
3．異面直線之間的距離
方法一：轉化為線面距離。
如圖，m和n為兩條異面直線，且，則異面直線m和n之間的距離可轉化為直線m與平面之間的距離。
方法二：直接計算公垂線段的長度。
方法三：公式法。
如圖，ad是異面直線m和n的公垂線段，，則異面直線m和n之間的距離為：
高考題典例（距離問題與夾角）
考點1 點到平面的距離
例1如圖，正三稜柱的所有稜長都為，為中點．
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）求點到平面的距離．
考點2 異面直線的距離
例2 已知三稜錐，底面是邊長為的正三角形，稜的長為2，且垂直於底面.分別為的中點，求cd與se間的距離.
考點3 直線到平面的距離
例3． 如圖，在稜長為2的正方體中，g是的中點，求bd到平面的距離...
考點4 異面直線所成的角
例4如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角的直二面角．是的中點．
（i）求證：平面平面；
（ii）求異面直線與所成角的正切值．
考點5 直線和平面所成的角
例5. 四稜錐中，底面為平行四邊形，側面底面．已知，，，．
（ⅰ）證明；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
例題6、如圖，四稜錐中，底面abcd為平行四邊形，，，底面abcd．
（i）證明：；
（ii）設pd=ad=1，求稜錐d-pbc的高．
例題7、如圖，三稜柱abc－a1b1c1中，側稜垂直底面，∠acb=90°，
ac=bc=aa1，d是稜aa1的中點
(ｉ)證明：平面bdc1⊥平面bdc
（ⅱ）平面bdc1分此稜柱為兩部分，求這兩部分體積比。
立體幾何知識點總結
1.空間多邊形不在同一平面內的若干線段首尾相接所成的圖形叫做空間折線.若空間折線的最後一條線段的尾端與最初一條線段的首端重合，則叫做封閉的空間折線.若封閉的空間折線各線段彼此不相交，則叫做這空間多邊形平面，平面是乙個不定義的概念，幾何裡的平面是無限伸展的.平面通常用乙個平行四邊形來表示.平面常用希臘...
立體幾何知識點總結
高中數學第九章 立體幾何 考試內容 平面及其基本性質 平面圖形直觀圖的畫法 數學探索版權所有平行直線 對應邊分別平行的角 異面直線所成的角 異面直線的公垂線 異面直線的距離 數學探索版權所有平行平面的判定與性質 平行平面間的距離 二面角及其平面角 兩個平面垂直的判定與性質 數學探索版權所有多面體 正...
立體幾何知識點總結
一 平面 通常用乙個平行四邊形來表示.平面常用希臘字母 或拉丁字母m n p來表示，也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點字母表示，如平面ac.在立體幾何中，大寫字母a，b，c，表示點，小寫字母，a,b,c,l,m,n,表示直線，且把直線和平面看成點的集合，因而能借用集合論中的符號表示它們之間的關係，例...