第一章:有理數及其運算
知識要求:
1、在具體情境中,理解有理數及其運算的意義;
2、能用數軸上的點表示有理數,會比較有理數的大小。
3、借助數軸理解相反數與絕對值的意義,會求有理數的相反數與絕對值。
4、經歷探索有理數運算法則和運算律的過程;掌握有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算;理解有理數的運算律,並能利用運算律簡化運算,及能運用有理數及其運算律解決簡單的實際問題。
知識重點:
絕對值的概念和有理數的運算(包括法則、運算律、運算順序、混合運算)是本章的重點。
知識難點:
絕對值的概念及有關計算,有理數的大小比較,及有理數的運算是本章的難點。
考點:絕對值的有關概念和計算,有理數的有關概念及混合運算是考試的重點物件。
知識點:
一、有理數的基礎知識
1、三個重要的定義
(1)正數:像1、2.5、這樣大於0的數叫做正數;(2)負數:
在正數前面加上「-」號,表示比0小的數叫做負數;(3)0即不是正數也不是負數,0是乙個具有特殊意義的數字,0是正數和負數的分界,不是表示不存在或無實際意義。
概念剖析:判斷乙個數是否是正數或負數,不能用數的前面加不加「+」「-」去判斷,要嚴格按照「大於0的數叫做正數;0小的數叫做負數」去識別。
正數和負數的應用:正數和負數通常表示具有相反意義的量。
所有正整數組成正整數集合;所有負整數組成負整數集合;正整數、0、負整數統稱為整數,正整數、0、負整數組成整數集合;
常常有溫差、時差、高度差(海拔差)等等差之說,其演算法為高溫減低溫等等;
例1 下列說法正確的是
a、乙個數前面有「-」號,這個數就是負數; b、非負數就是正數;
c、乙個數前面沒有「-」號,這個數就是正數; d、0既不是正數也不是負數;
例2 把下列各數填在相應的大括號中 8,,0.125,0,,,,
正整數集合整數集合
負整數集合正分數集合
例3 如果向南走公尺記為是公尺,那麼向北走公尺記為是0公尺的意義是
例4 對某種盒裝牛奶進行質量檢測,一盒裝牛奶超出標準質量2克,記作+2克,那麼克表示
知識視窗:正數和負數通常表示具有相反意義的量,乙個記為正數,另乙個就記為負數,我們習慣上把向東、向北、上公升、盈利、運進、增加、收入、高於海平面等等規定為正,把相反意義的量規定為負。
例5 若,則是若,則是若,則是若,則是填正數、負數或0)
2、有理數的概念及分類
整數和分數統稱為有理數。
有理數的分類如下:
(1)按定義分類2)按性質符號分類:
概念剖析:整數和分數統稱為有理數,也就是說如果乙個數是有理數,則它就一定可以化成整數或分數;
正有理數和0又稱為非負有理數,負有理數和0又稱為非正有理數
整數和分數都可以化成小數部分為0或小數部分不為0的小數,但並不是所有小數都是有理數,只有有限小數和無限迴圈小數是有理數;
例6 若為無限不迴圈小數且,是的小數部分,則是( )
a、無理數 b、整數 c、有理數 d、不能確定
例7 若為有理數,則不可能是( )
a、整數 b、整數和分數 c、 d、
3、數軸
標有原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸。
數軸有三要素:原點、正方向、單位長度。畫一條水平直線,在直線上取一點表示0(叫做原點),選取某一長度作為單位長度,規定直線上向右的方向為正方向,就得到數軸。
在數軸上所表示的數,右邊的數總比左邊的數大,即從數軸的左邊到右邊所對應的數逐漸變大,所以正數都大於0,負數都小於0,正數大於負數。
概念剖析:畫數軸時數軸的三要素原點、正方向、單位長度缺一不可;
數軸的方向不一定都是水平向右的,數軸的方向可以是任意的方向;
數軸上的單位長度沒有明確的長度,但單位長度與單位長度要保持相等;
有理數在數軸上都能找到點與之對應,一般地,設是乙個正數,則數軸上表示數的點在原點的右邊,與原點的距離是個單位長度;表示數的點在原點的左邊,與原點的距離是個單位長度。
在數軸上求任意兩點a、b的距離l,則有公式,這兩個公式選擇那個都一樣。
例8 在數軸上表示數3的點到表示數的點之間的距離是10,則數若在數軸上表示數3的點到表示數的點之間的距離是,則數
例9 a,b兩數在數軸上的位置如圖,則下列正確的是( )
a、 a+b<0 b、 ab<0 c、<0 d、
例10 下列數軸畫正確的是( )
4、相反數
如果兩個數只有符號不同,那麼其中乙個數就叫另乙個數的相反數。0的相反數是0,互為相反的兩個數,在數軸上位於原點的兩則,並且與原點的距離相等。
概念剖析: 「如果兩個數只有符號不同,那麼其中乙個數就叫另乙個數的相反數」,不要茫然的認為「如果兩個數符號不同,那麼其中乙個數就叫另乙個數的相反數」。
很顯然,數的相反數是,即與互為相反數。要把它與倒數區分開。
互為相反數的兩個數在數軸上對應的點乙個在原點的左邊,乙個在原點的右邊,且離原點的距離相等,也就是說它們關於原點對稱。
在數軸上離某點的距離等於的點有兩個。
如果數和數互為相反數,則+=0;或;
求乙個數的相反數,只要在這個數的前面加上「—」即可;例如的相反數是;
例11 下列說法正確的是( )
a、若兩個數互為相反數,則這兩個數一定是乙個正數,乙個負數;
b、如果兩個數互為相反數,則它們的商為-1;
c、如果+=0,則數和數互為相反數;
d、互為相反數的兩個數一定不相等;
例12 求出下列各數的相反數
例13 化簡下列各數的符號
知識視窗:乙個數前面加上「—」號,該數就成了它的相反數;
乙個數前面的符號確定方法:奇數個負號相當於乙個負號,偶數個負號相當於乙個正號,而與正號的個數無關。
5、絕對值
數軸上表示數的點與原點的距離叫做數的絕對值。
(1)絕對值的幾何意義:乙個數的絕對值就是數軸上表示該數的點與原點的距離。
(2)絕對值的代數意義:乙個正數的絕對值是它本身;0的絕對值是0;乙個負數的絕對值是它的相反數,可用字母a表示如下:
(3)兩個負數比較大小,絕對值大的反而小。
概念剖析: 「乙個數的絕對值就是數軸上表示該數的點與原點的距離」,而距離是非負,也就是說任何乙個數的絕對值都是非負數,即。
互為相反數的兩個數離原點的距離相等,也就是說互為相反數的兩個數絕對值相等。
例14 如果兩個數的絕對值相等,那麼這兩個數是( )
a、互為相反數 b、相等 c、積為0d、互為相反數或相等
例15 已知ab>0,試求的值。
例16 若|x|=-x,則x是_________數;
例17 若│χ+3∣+∣y—2∣=0,則
例18 將下列各數從大到小排列起來
0、 、 、
例19 如果兩個數和的絕對值相等,則下列說法正確的是( )
a、 b、 cd、不能確定
二、有理數的運算
1、有理數的加法
(1)有理數的加法法則:同號兩數相加,取相同的符號,並把絕對值相加;絕對值不等的異號兩數相加,取絕對值較大數的符號,並用較大的絕對值減去較小的絕對值;互為相反的兩個數相加得0;乙個數同0相加,仍得這個數。
例20 計算下列各式
(– 3)–(– 4)+7
+(2)有理數加法的運算律:
加法的交換律 :a+b=b+a;加法的結合律:( a+b ) +c = a + (b +c)
知識視窗:用加法的運算律進行簡便運算的基本思路是:先把互為相反數的數相加;把同分母的分數先相加;把符號相同的數先相加;把相加得整數的數先相加。
例21 計算下列各式
2、有理數的減法
(1)有理數減法法則:減去乙個數等於加上這個數的相反數。
(2)有理數減法常見的錯誤:顧此失彼,沒有顧到結果的符號;仍用小學計算的習慣,不把減法變加法;只改變運算符號,不改變減數的符號,沒有把減數變成相反數。
(3)有理數加減混合運算步驟:先把減法變成加法,再按有理數加法法則進行運算;
概念剖析:減法是加法的逆運算,用法則「減去乙個數等於加上這個數的相反數」即可轉化。
轉化後它滿足加法法則和運算律。
例22 計算:
例23 月球表面的溫度中午是,半夜是,中午比半夜高多少度?
例24 已知是6的相反數,比的相反數小5,求比大多少?
3、有理數的乘法
(1)有理數乘法的法則:兩個有理數相乘,同號得正,異號得負,並把絕對值相乘;任何數與0相乘都得0。
(2)有理數乘法的運算律:交換律:ab=ba;結合律:(ab)c=a(bc);交換律:a(b+c)=ab+ac。
(3)倒數的定義:乘積是1的兩個有理數互為倒數,即ab=1,那麼a和b互為倒數;倒數也可以看成是把分子分母的位置顛倒過來。
概念剖析: 「兩個有理數相乘,同號得正,異號得負」不要誤認為成「同號得正,異號得負」
多個有理數相乘時,積的符號確定規律:多個有理數相乘,若有乙個因數為0,則積為0;幾個都不為0的因數相乘,積的符號由負因數的個數來決定,當負因數的個數為奇數時,積為負;當負因數的個數為偶數時,積為正。
有理數乘法的計算步驟:先確定積的符號,再求各因數絕對值的積。
七年級上冊數學知識點大全
1.有理數 1 凡能寫成形式的數,都是有理數,整數和分數統稱有理數.注意 0即不是正數,也不是負數 a不一定是負數,a也不一定是正數 不是有理數 2 有理數的分類 3 注意 有理數中,1 0 1是三個特殊的數,它們有自己的特性 這三個數把數軸上的數分成四個區域,這四個區域的數也有自己的特性 4 自然...
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蘇教版七年級上冊數學知識點
1 有理數的分類 按有理數的意義分類按正 負來分 正整數正整數 整數 0正有理數 負整數正分數 有理數有理數 00不能忽視 正分數負整數 分數負有理數 負分數負分數 總結 正整數 0統稱為非負整數 也叫自然數 負整數 0統稱為非正整數 正有理數 0統稱為非負有理數 負有理數 0統稱為非正有理數 理解...