數值分析複習資料
一、重點公式
第一章非線性方程和方程組的數值解法
1）二分法的基本原理，誤差：
2）迭代法收斂階：，若則要求
3）單點迭代收斂定理：
定理一：若當時，且，，則迭代格式收斂於唯一的根；
定理二：設滿足：①時，，
②則對任意初值迭代收斂，且：
定理三：設在的鄰域內具有連續的一階導數，且，則迭代格式具有區域性收斂性；
定理四：假設在根的鄰域內充分可導，則迭代格式是p階收斂的（taylor展開證明）
4）newton迭代法：，平方收斂
5）newton迭代法收斂定理：
設在有根區間上有二階導數，且滿足：
①：；②：；
③：④：初值使得；
則newton迭代法收斂於根。
6）多點迭代法：
收斂階：
7）newton迭代法求重根（收斂仍為線性收斂），對newton法進行修改
①：已知根的重數r，（平方收斂）
②：未知根的重數：，為的重根，則為的單根。
8）迭代加速收斂方法：
當不動點迭代函式在的某個鄰域內具有二階導數，平方收斂
9）確定根的重數：當newton迭代法收斂較慢時，表明方程有重根
10）擬newton法
其中11）秩1擬newton法：
broyden秩1方法
第二章線性代數方程組數值解法
1）向量範數：
①：非負性：，且的充要條件是；
②：齊次性：
③：三角不等式：
1範數：
2範數：
範數：p範數：
2）矩陣範數：
①：非負性：，且的充要條件是；
②：齊次性：
③：三角不等式：
④：乘法不等式：
f範數：
1範數：，列和最大
範數：，行和最大
2範數：，其中，為的特徵值，
3）gauss消元法（上三角陣）：；
gauss-jordan消元法（對角陣）：；
列選主元消元法：在消元之前進行行變換，將該列最大元素換置對角線主元位置；（可用於求逆矩陣）
全選主元消元法：全矩陣搜尋矩陣最大元素進行行變換和列變換至其處於對角線主元位置；
4）三角分解法：
①：doolittle分解法：a=lu，l單位下三角陣，u上三角陣
②：crout分解法：a=lu，l下三角陣，u單位上三角陣
③：cholesky分解法：a對稱正定，，l為單位下三角陣
④：改進的cholesky分解法：a對稱正定，，l為單位下三角陣，d為對角陣
⑤：追趕法：crout分解法解三對角方程
5）矩陣的條件數，譜條件數：
6）如果，則為非奇異陣，且
7）迭代法基本原理：
①：迭代法：
②： (，迭代格式收斂)
③：至少存在一種矩陣的從屬範數，使
8）jacobi迭代：
9）gauss-seidel迭代：
10）超鬆弛迭代法
11）二次函式的一維搜尋：
12）最速下降法：
選擇方向
進行一維搜尋：，其中
13）共軛梯度法：
第一步：最速下降法，，，
第二步：過選擇的共軛方向，其中，過以為方向的共軛直線為，進行二次函式的一維搜尋
14）一般的共軛梯度法：
第三章插值法與數值逼近
1）lagrange插值：，
餘項：2）newton插值：差商表
餘項3）反插值
4）hermite插值（待定係數法）
其中餘項：
5）分段線性插值：
插值基函式：
餘項：分段餘項
6）有理逼近：反差商表
有理逼近函式式：
7）正交多項式的計算：
定理：在上帶權函式的正交多項式序列，若最高項係數唯一，它便是唯一的，且由以下的遞推公式確定
其中定理3.8
8）連續函式的最佳平方逼近：在上，法方程為，
其中，均方誤差：
最大誤差：
9）離散函式的最佳平方逼近（曲線的最小二乘擬合）：
法方程其中
第四章數值積分
1）代數精度的概念及應用：對r次多項式的精確成立，以及代入法求解係數。
2）lagrange插值代入
lagrange插值基函式
，其中誤差：
定理：數值積分公式具至少有n次代數精度其是差值型的
3）等距節點的newton-cotes公式
將拉格朗日差值積分公式中的差值節點即可，其中；
，令（cotes係數）則：
n-c公式的數值穩定性：當同號時是穩定的，否則不穩定，（其中）
n-c公式至少具有n次代數精度，若n為偶數，則其代數精度可提高到n+1次；
餘項：當n為偶數時，
當n為奇數時，
4）復化的n-c公式
復化的梯形公式：將積分區間n等分，然後在每個區間上應用梯形公式
復化的simpson公式：將積分區間n等分，然後在每個區間上應用simpson公式
5）romberg積分法
逼近的階為
6）求積節點為n+1的機械求積公式的代數精度<=2n+1；
7）gauss求積公式
在[a，b]上與所有次數<=n的多項式帶權正交上式為gauss求積公式、
8）gauss-legendre求積公式
給出公式：、、······
給出區間[1,-1]上的求積公式，取的零點為求積節點
1 取零點為0
2 取零點為
對於區間[a,b]上的gauss求積公式，令，，則：
餘項：第五章乘冪法
1）基本定理：
定理一：若為a的特徵值，為某一多項式，則矩陣的特徵值是。特別地，的特徵值是。
定理二：如果a為實對稱矩陣，則a的所有特徵值均為實數，且存在n個線性無關的特徵向量；不同特徵值所對應的特徵向量正交。
定理三：設a與b為相似矩陣，即存在非奇異陣p，使，則a與b有相同的特徵值。
定理四：如果a有n個不同的特徵值，則存在乙個相似變換矩陣p，使得，其中d是乙個對角矩陣，它的對角線元素就是a的特徵值。
定理五：對於任意方陣a，存在乙個酉變矩陣q，使得，其中t是乙個上三角矩陣，是是共軛轉置矩陣。
推論：如果a是實對稱矩陣，則存在乙個正交矩陣q，使，其中d是對角矩陣，它的對角線元素是a的特徵值，而q的各列即為a的特徵向量，並且。
定理六：設是以為中心的一些圓，其半徑為，設，則a的所有特徵值都位於區域內。
推論：的譜半徑滿足。
定理七：設a為對稱正定陣，則有，，其中，x是任意復向量，表示x的共軛轉置。
定理八：對任意非奇異矩陣a，有，其中為a的任一特徵值。
2）求按模最大的特徵值和對應的特徵向量
， 3）
第六章常微分方程的數值解法（差分法）
1）離散化方法：taylor展開、差商代替求導、數值積分
2）euler公式：
euler隱式（1階）
改進的euler公式（2階精確解）
3）截斷誤差和p階精確解：截斷誤差
4）s級runge-kuta法
2級runge-kuta法
（2階精度）
的取值1/2（中點公式）、2/3（heun公式）、1（改進的euler方法）
5）單步法（*）
相容性：則（*）式與初值問題相容
收斂性：對於固定的當時有則稱（*）式收斂
數值穩定性：若一數值方法在上有擾動而於以後的各節點值上產生的偏差均不超過，則稱該方法絕對收斂
試驗方程：用以求解絕對穩定區間
絕對收斂：用單步法求解試驗方程，若絕對收斂則稱該方法絕對穩定
6）線性多步法德一般格式：
區域性階段誤差（係數通過taylor展開構造）
其中線性多步法的階數通過誤差係數來判斷，最高端數
7）線性多步法的收斂性判斷： 稱線性多步法相容
滿足根條件：第一特徵多項式，
第二特徵多項式
當第一特徵多項式所有根的模均不大於1，且模為1的根均是單根，稱滿足根條件
收斂相容且滿足根條件
8）數值穩定性判斷：
穩定多項式（特徵多項式）
令，是穩定多項式的根，
①：若對任意有，且當時，為單根，則稱為相對穩定區間；
3 若對任意有，則稱為絕對穩定區間
數值分析考試複習總結
第一章1 誤差 相對誤差和絕對誤差得概念 例題 當用數值計算方法求解乙個實際的物理運動過程時,一般要經歷哪幾個階段?在哪些階段將有哪些誤差產生?答 實際問題 數學模型 數值方法 計算結果 在這個過程中存在一下幾種誤差 建立數學模型過程中產生 模型誤差引數誤差 選用數值方法產生 截斷誤差 計算過程產生...
數值分析考試點總結複習
解線性方程組幾種數值解法 l 單位下三角矩陣 u 上三角矩陣 注釋 嚴格對角佔優陣通俗來講就是每一行對角元素的絕對值都大於同行其他元素絕對值的和！差異 插值函式必須經過插值點，擬合函式不必經過擬合點 runge現象 等距節點高次插值所產生的小區間內逼近很差的現象 所以 分段插值 課本33頁.採用正交...
數值分析總結
1章引論 2章非線性方程求根 3章解線性方程組的直接法 4章解線性方程組的迭代法 5章插值法 6章數值積分 7章常微分方程的數值解法 第2章非線性方程的迭代法 方程求根與二分法 迭代法迭代收斂的加速方法 牛頓法弦截法 第3章解線性代數方程組的直接法 第4章解線性代數方程組的迭代法 線性方程組的兩類解...