第一章1 誤差
相對誤差和絕對誤差得概念
例題:當用數值計算方法求解乙個實際的物理運動過程時, 一般要經歷哪幾個階段? 在哪些階段將有哪些誤差產生?
答: 實際問題-數學模型-數值方法-計算結果
在這個過程中存在一下幾種誤差:
建立數學模型過程中產生:模型誤差引數誤差
選用數值方法產生:截斷誤差
計算過程產生:捨入誤差傳播誤差
6．設關於精確數有3位有效數字，估計的相對誤差. 對於，估計對於的誤差和相對誤差.
解的相對誤差：由於
對於的誤差和相對誤差.
==2有效數字
基本原則:1 兩個很接近的數字不做減法:
2: 不用很小得數做分母(不用很大的數做分子)
例題:4．改變下列表示式使計算結果比較精確：
（1）（2）（3） .
解 (12) .
3第二章
拉格朗日插值公式（即公式（1））
插值基函式（因子）可簡潔表示為
其中:.
例1 n=1時，線性插值公式 ，
例2 n=2時，拋物插值公式
牛頓（newton）插值公式
由差商的引入，知
（1） 過點的一次插值多項式為
其中（2） 過點的二次插值多項式為
其中重點是分段插值:
例題:1. 利用lagrange插值公式求下列各離散函式的插值多項式（結果要簡化）：
解(2)：
方法一. 由 lagrange 插值公式
可得：方法二. 令
由 ，， 定a，b （稱之為待定係數法） □
15.設，求在區間上的分段線性插值函式，並估計誤差，取等距節點，且.
解 設 ，則：
誤差估計：
第三章最佳一致逼近:(了解)
最佳平方逼近
主要分兩種情形：
1. 連續意義下
在空間中討論
2. 離散意義下
在維歐氏空間中討論，只要求提供的樣本值
1. 最佳逼近多項式的法方程組
設的維子空間 =span,
其中是的線性無關多項式系.
對，設其最佳逼近多項式可表示為:
由即2） 其中
稱(*2)式為最佳逼近多項式的法方程組（或正規方程組）.
由的線性無關性，可證明正定，即
上述法方程組的解存在且唯一 .
11、 求，的一次和二次最佳平方逼近多項式.
解： 設 ，
分別為的一次、二次最佳平方逼近多項式。
內積計算如下內積：
建立法方程組：
1)，得： ，
於是2) 解得於是
第四章1 為什麼要進行數值積分?常用哪些公式,方法?
答: 梯形復化求積公式和simpson復化求積公式.
2: 方法好壞的判斷: 代數精度
● 誤差分析
1.代數精度的概念
定義若求積公式（*）對所有次數的多項式是精確的，但對次多項式不精確，則稱（*）具有次代數精度。
等價定義
若求積公式（*）對是精確的，但對不精確，則（*）具有次代數精度。
3: 誤差
1 等距剖分下的數值求積公式：
公式特點：節點預先給定，均勻分布,係數待定
利用插值多項式近似代替，即得插值型求積公式newton-cotes公式
2 給定節點數下的具有最佳逼近性質（具有最高次代數精度）的數值求積公式：gauss求積公式公式特點：係數和節點均待定
3 分段插值多項式近似代替（分段求積）復化求積公式
復化求積公式
通過高次求積公式提高精度的途徑不行，類似函式插值
分而治之： 分段＋低次求積公式稱為復化求積法
兩類低次（）求積公式：
1. newton－cotes型：矩形、梯形、simpson、cotes公式
分別稱為復化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式
2. gauss型： 一點、兩點、三點gauss求積公式
稱為復化一點、兩點、三點gauss公式
復化梯形公式（）復化辛甫生公式: （每個上用辛甫生公式求積）
，為的中點
復化辛甫生公式是最常用的數值求積方法。
常採用其等價形式：
復化柯特斯公式
其中，，為的中點，
，為的四等分的分點
● 自適應復化求積法
計算時，要預先給定或步長，在實際中難以把握
因為，取得太大則精度難以保證，太小則增加計算工作量.
自適應復化梯形法的具有計算過程如下：
步1步2步3 判斷？若是，則轉步5；
步4 ，轉步2；
步5 輸出 .
第五章1: 常用方法:
(1).直接解法：
逐步（順序）消去法、
主元素法、矩陣分解法等；
(2).迭代解法：構造某種極限過程去逐步逼近方程組的解
①.經典迭代法
迭代法、迭代法、
逐次超鬆弛（sor）迭代法等；
krolov子空間的迭代法
根據的對稱性，又分為：
對稱正定------- 共軛梯度法
非對稱bicg 、 gmres(最小殘量法)
③.解一類特定背景問題的迭代法
多重網格法
2: 幾類迭代法優缺點比較:
3: 迭代方法
目標： 求解其中，非奇異。
基本思想：
把線性方程組的解，化為乙個迭代序列極限解
關鍵：構造迭代序列所滿足的公式：迭代格式。
構造迭代格式基本步驟：
1． 將**：， 其中，非奇異
2． 構造迭代格式
其中，稱之為迭代矩陣 ,
其中，為的殘餘向量
此時，常用的迭代方法
將**為
其中，,
● jacobi迭代方法
若，迭代格式
其中 jacobi迭代矩陣：
①式可寫為分量形式
1）方法（*1）或①稱為jacobi迭代方法.
gauss—seidle迭代方法
若，迭代格式
其中， gauss-seidel迭代矩陣：
其分量形式
,. （*2）
即，在計算新分量時，利用新值，。
迭代法（*2）或②稱為gauss—seidel迭代方法 。
● 超鬆弛方法(sor)方法
定義sor方法的迭代格式如下：
, （*3）
稱為鬆弛因子，即為方法.
其矩陣形式
其中，sor法的迭代矩陣：
.第七章1: 解非線性方程與方程組的方法:
1. 準確方法
如：用求根公式對次的代數多項式求根。
但： 絕大多數的方程並無準確方法可用。如：次的代數多項式並無求根公式。
2. 數值方法（實際中大多採用）
基本思想： 設法找到乙個能收斂到方程的解的序列。
(1).區間套法—— 二分法。
(2).迭代法：
①.簡單迭代法； ②. newton迭代法;
. 割線法; .加速演算法。
2: 收斂條件:
二分法無條件
簡單迭代法條件:
定理1 如果滿足以下條件:
1),;
2)常數:, 使得對任意兩點,都有
則: 方程(*)在上的解存在唯一,且對任給的初值,由迭代過程(* *) 所產生的序列收斂到.
例題:2. 為求方程在附近的乙個根，設將方程改寫為下列等價形式，並建立相應的迭代公式：
（1），迭代公式
（2），迭代公式，
（3），迭代公式，
試分析每一種迭代公式的收斂性，並問哪一種迭代收斂得快？
解：取的鄰域來考察
(1)， ，故迭代公式(1)收斂.
(2),
， 故迭代公式（2）也收斂。
(3),
故迭代公式（3）發散.
由於越小，越快地收斂於根，故（2）式收斂最快。□
第八章解一階常微分方程的常用方法: euler 方法 runge-kutta 方法
2階常微分方程邊值問題的差分方法
1． 三類邊值問題
1）第一類邊值問題：
3.1）
3.2)
2）第二類邊值問題：
3.3）
3.4)
3）第三類邊值問題：
3.5）
3.6)
其中， 。
2． 差分格式的建立
針對方程（3.1）而言.
step 1 取的離散節點:
, 第步步長, 一般可取等
步長:,
step 2 將用二階差商、用一階差商近似：
，.理由：由taylor展開，有
兩式相加得
，其中， .
兩式相減得
，其中， .
step 3 略去項 , 並記則由方程(3.1)有:
3.7）
所以得到第一邊值問題(3.1)-(3.2)的差分格式:
…(3.8)
3.9)
對第二邊值條件(3.3),由於
其中， , ,
已及所以可得到第二類邊值問題(3.3)-(3.4)的差分格式:
…(3.10)
3.11)
類似可得第三類邊值問題(3.5)-(3.6)的差分格式(略).
數值分析考試點總結複習
解線性方程組幾種數值解法 l 單位下三角矩陣 u 上三角矩陣 注釋 嚴格對角佔優陣通俗來講就是每一行對角元素的絕對值都大於同行其他元素絕對值的和！差異 插值函式必須經過插值點，擬合函式不必經過擬合點 runge現象 等距節點高次插值所產生的小區間內逼近很差的現象 所以 分段插值 課本33頁.採用正交...
數值分析複習總結
數值分析複習資料 一 重點公式 第一章非線性方程和方程組的數值解法 1 二分法的基本原理，誤差 2 迭代法收斂階 若則要求 3 單點迭代收斂定理 定理一 若當時，且，則迭代格式收斂於唯一的根 定理二 設滿足 時，則對任意初值迭代收斂，且 定理三 設在的鄰域內具有連續的一階導數，且，則迭代格式具有區域...
數值分析總結
1章引論 2章非線性方程求根 3章解線性方程組的直接法 4章解線性方程組的迭代法 5章插值法 6章數值積分 7章常微分方程的數值解法 第2章非線性方程的迭代法 方程求根與二分法 迭代法迭代收斂的加速方法 牛頓法弦截法 第3章解線性代數方程組的直接法 第4章解線性代數方程組的迭代法 線性方程組的兩類解...