命題要點：(1)數量積的定義(′11年6考，′10年4考)；(2)平面向量的夾角、模問題(′11年5考，′10年4考)；(3)利用平面向量的數量積解決垂直問題(′11年1考，′10年2考).
a級(時間：40分鐘滿分：60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011·遼寧)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k＝( )．
a．－12 b．－6 c．6 d．12
解析 2a－b＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，
得：10＋2－k＝0，∴k＝12.
答案 d
2．(★)設向量a＝(1,0)，b＝，則下列結論中正確的是( )．
a．|a|＝|b| b．a·b＝
c．a∥b d．a－b與b垂直
解析 (篩選法)a項，∵|a|＝1，
|b|＝ ＝，∴|a|≠|b|；
b項，a·b＝1×＋0×＝；
c項，∵1×－0×≠0，∴a不平行於b；
d項，∵a－b＝，(a－b)·b＝·
＝0，∴(a－b)⊥b.
答案 d
【點評】 本題採用了篩選法.數學選擇題的解題本質就是去偽存真，捨棄不符合題目要求的選項，找到符合題意的正確結論.篩選法(又叫排除法)就是通過觀察分析或推理運算各項提供的資訊或通過特例，對於錯誤的選項，逐一剔除，從而獲得正確的結論.
3．(2011·湖北)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角等於
( )．
a．－ b. c. d.
解析 2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．在平面直角座標系中，根據圖形得2a＋b與a－b的夾角為.
答案 c
4．(2011·全國)設向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，則|a＋2b|＝( )．
a. b. c. d.
解析由於|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝3，所以|a＋2b|＝.
答案 b
5．(2011·東北三校聯考(二))已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，則向量a在向量b方向上的投影是( )．
a．－4 b．4 c．－2 d．2
解析設a與b的夾角為θ，∵a·b為向量b的模與向量a在向量b方向上的投影的乘積，而cos θ＝＝－，
∴|a|cos θ＝6×＝－4.
答案 a
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011·南京調研(一))在平面直角座標系中，正方形oabc的對角線ob的兩端點分別為o(0,0)，b(1,1)，則
解析由題意得·＝1×cos＝1.
答案 1
7．(2011·安徽)已知向量a，b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為________．
解析由(a＋2b)·(a－b)＝－6，得a2－2b2＋a·b＝－6，又|a|＝1，|b|＝2，所以a·b＝1，
設a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝，而0≤θ≤π，所以θ＝.
答案 8．(2011·新課標全國)已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k
解析設a與b夾角為θ，由題意知|a|＝1，|b|＝1，θ≠0且θ≠π.由a＋b與向量ka－b垂直，得
(a＋b)·(ka－b)＝0，即k|a|2＋(k－1)|a||b|cos θ－|b|2＝0，(k－1)(1＋cos θ)＝0.
又1＋cos θ≠0，∴k－1＝0，k＝1.
答案 1
三、解答題(共23分)
9．(11分)設向量a，b滿足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝.
(1)求a，b夾角的大小；
(2)求|3a＋b|的值．
解 (1)設a與b夾角為θ，(3a－2b)2＝7,9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝，∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝，
又θ∈[0，π]，∴a，b所成的角為.
(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，
∴|3a＋b|＝.
10．(12分)如圖所示，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
(1)若∥，求x與y之間的關係式；
(2)在(1)條件下，若⊥，求x，y的值及四邊形abcd的面積．
解 (1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，＝－＝(－x－4,2－y)．
又∥且＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，
即x＋2y＝0.①
(2)由於＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)，又⊥，∴·＝0.
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，②
聯立①②化簡，得y2－2y－3＝0，
∴y＝3或y＝－1.
故當y＝3時，x＝－6，此時＝(0,4)，＝(－8,0)，
∴sabcd＝||·||＝16；
當y＝－1時，x＝2，此時＝(8,0)，＝(0，－4)，
∴sabcd＝||·||＝16.
b級(時間：30分鐘滿分：40分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(2011·武漢模擬)在△abc中，ab＝3，ac＝2，bc＝，則·＝
( )．
a．－ b．－ c. d.
解析由於·＝||||cos∠bac＝(||2＋||2－||2)＝×(9＋4－10)＝.
答案 d
2．(2011·北京東城4月抽檢)如圖，已知正六邊形p1p2p3p4p5p6，下列向量的數量積中最大的是( )．
a.·b.·c.·
d.·解析由於⊥，故其數量積是0，可排除c；與的夾角是，故其數量積小於零，可排除d；設正六邊形的邊長是a，則·＝||||cos 30°＝a2，·＝||||cos 60°＝a2.
答案 a
二、填空題(每小題4分，共8分)
3．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值是________．
解析： 據已知得α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝1－2α·β＝0，解得α·β＝，故|2α＋β|2＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋4×＋4＝10，因此|2α＋β|＝.
答案 4．(2011·浙江)若平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|≤1，且以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為，則a和b的夾角θ的取值範圍是________．
解析依題意有|a||b|sin θ＝，即sin θ＝，由|b|≤1，得sin θ≥，又0≤θ≤π，故有≤θ≤.
答案 三、解答題(共22分)
5．(10分)已知平面上三點a，b，c滿足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值．
解由題意知△abc為直角三角形，⊥，
∴·＝0，cos∠bac＝，
cos∠bca＝，
∴和夾角的余弦值為－，
和夾角的余弦值為－，
∴·＋·＋·
＝20×＋15×＝－25.
6．(★)(12分)設兩向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夾角為60°，若向量2t e1＋7e2與向量e1＋t e2的夾角為鈍角，求實數t的取值範圍．
思路分析轉化為(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ＜0)．
解由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos 60°＝1.
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.
欲使夾角為鈍角，需2t2＋15t＋7＜0.
得－7＜t＜－.
設2t e1＋7e2＝λ(e1＋t e2)(λ＜0)．
∴∴2t2＝7.
∴t＝－，此時λ＝－.
即t＝－時，向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為π.
∴夾角為鈍角時，t的取值範圍是
∪.【點評】 本題較好地體現了轉化與化歸思想.轉化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，數學問題的解決，總離不開轉化與化歸，如未知向已知的轉化、新知識向舊知識的轉化、複雜問題向簡單問題的轉化、不同數學問題之間的互相轉化、實際問題向數學問題轉化等.
各種變換、具體解題方法都是轉化的手段，轉化的思想方法滲透到所有的數學教學內容和解題過程中.
2023年高考 文科數學知識點總結 十二
命題要點 1 利用導數求函式的單調性 11年6考，10年5考 2 利用導數求函式的極值與最值 11年8考，10年4考 a級 時間 40分鐘滿分 60分 一 選擇題 每小題5分，共25分 1 2011 廣州模擬 函式f x ex e x e為自然對數的底數 在 0，上 a 有極大值 b 有極小值 c ...
2023年高考 文科數學知識點總結 十五
命題要點 同角三角函式的關係式及誘導公式 11年3考，10 年3考 a級 時間 40分鐘滿分 60分 一 選擇題 每小題5分，共25分 1 cos 300 a b c.d.解析 cos 300 cos 60 答案 c 2 若tan 2，則的值為 a 0 b.c 1 d.解析 答案 b 3 2011 ...
2023年高考 文科數學知識點總結 十七
命題要點 1 三角函式的圖象的變換 11年2考，10年2考 2 已知三角函式圖象求解析式 11年3考，10年2考 3 三角函式圖象與性質的綜合應用 11年7考，10年6考 a級 時間 40分鐘滿分 60分 一 選擇題 每小題5分，共25分 1 若將某正弦函式的圖象向右平移以後，所得到的圖象的函式式是...