命題要點：(1)橢圓的定義；(2)橢圓的標準方程(′11年6考，′10年3考)；(3)橢圓的簡單幾何性質(′11年2考，′10年2考).)
a級(時間：40分鐘滿分：60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，則橢圓的離心率等於( )．
a. b. c. d.
解析由題意得2a＝2ba＝b，又a2＝b2＋c2b＝ca＝ce＝.
答案 b
2．(2012·長沙調研)中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是( )．
a.＋＝1 b.＋＝1
c.＋＝1 d.＋＝1
解析依題意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，
∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴橢圓方程為＋＝1.
答案 a
3．橢圓x2＋4y2＝1的離心率為( )．
a. b. c. d.
解析先將x2＋4y2＝1化為標準方程＋＝1，則a＝1，b＝，c＝＝.離心率e＝＝.
答案 a
4．設f1、f2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點，p是第一象限內該橢圓上的一點，且pf1⊥pf2，則點p的橫座標為( )．
a．1 b. c．2 d.
解析由題意知，點p即為圓x2＋y2＝3與橢圓＋y2＝1在第一象限的交點，解方程組得點p的橫座標為.
答案 d
5．(2011·惠州模擬)已知橢圓g的中心在座標原點，長軸在x軸上，離心率為，且橢圓g上一點到其兩個焦點的距離之和為12，則橢圓g的方程為( )．
a.＋＝1 b.＋＝1
c.＋＝1 d.＋＝1
解析依題意設橢圓g的方程為＋＝1(a＞b＞0)，
∵橢圓上一點到其兩個焦點的距離之和為12，∴2a＝12，
∴a＝6，∵橢圓的離心率為.∴＝，
∴＝.解得b2＝9，∴橢圓g的方程為：＋＝1.
答案 c
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．若橢圓＋＝1上一點p到焦點f1的距離為6，則點p到另乙個焦點f2的距離是________．
解析由橢圓的定義可知，|pf1|＋|pf2|＝2a，所以點p到其另乙個焦點f2的距離為|pf2|＝2a－|pf1|＝10－6＝4.
答案 4
7．(2011·西安模擬)以f1(0，－1)，f2(0,1)為焦點的橢圓c過點p，則橢圓c的方程為________．
解析由題意得，c＝1,2a＝|pf1|＋|pf2|＝ ＋＝2.故a＝，b＝1.則橢圓的標準方程為x2＋＝1.
答案 x2＋＝1
8．(2011·皖南八校聯考)已知f1、f2是橢圓c的左、右焦點，點p在橢圓上，且滿足|pf1|＝2|pf2|，∠pf1f2＝30°，則橢圓的離心率為________．
解析在三角形pf1f2中，由正弦定理得
sin∠pf2f1＝1，即∠pf2f1＝，設|pf2|＝1，
則|pf1|＝2，|f2f1|＝，∴離心率e＝＝.
答案 三、解答題(共23分)
9．(11分)已知點p(3,4)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)上的一點，f1，f2是橢圓的兩焦點，若pf1⊥pf2.
試求：(1)橢圓的方程；
(2)△pf1f2的面積．
解 (1)∵p點在橢圓上，∴＋＝1.①
又pf1⊥pf2，∴·＝－1，得，c2＝25，②
又a2＝b2＋c2，③
由①②③得a2＝45，b2＝20.橢圓方程為＋＝1.
(2)s△pf1f2＝|f1f2|×4＝5×4＝20.
10．(★)(12分)(2011·西安五校一模)已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓c的離心率為，且經過點m.
(1)求橢圓c的方程；
(2)是否存在過點p(2,1)的直線l1與橢圓c相交於不同的兩點a，b，滿足·＝2？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請說明理由．
解 (1)設橢圓c的方程為＋＝1(a＞b＞0)，由題意得解得a2＝4，b2＝3.
故橢圓c的方程為＋＝1.
(2)假設存在直線l1且由題意得斜率存在，設滿足條件的方程為y＝k1(x－2)＋1，代入橢圓c的方程得，(3＋4k)x2－8k1(2k1－1)x＋16k－16k1－8＝0.因為直線l1與橢圓c相交於不同的兩點a，b，設a，b兩點的座標分別為(x1，y
1)，(x2，y2)，所以δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k)(16k－16k1－8)＝32(6k1＋3)＞0，所以k1＞－.
又x1＋x2＝，x1x2＝，
因為·＝2，
即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝，
所以(x1－2)·(x2－2)(1＋k)＝|pm|2＝.
即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k)＝.
所以(1＋k)＝＝，解得k1＝±.
因為k1＞－，所以k1＝.
於是存在直線l1滿足條件，其方程為y＝x.
【點評】 解決解析幾何中的探索性問題的一般步驟為：,第一步：假設結論成立.
,第二步：以存在為條件，進行推理求解.,第三步：
明確規範結論，若能推出合理結果，經驗證成立即可肯定正確.若推出矛盾，即否定假設.,第四步：
回顧檢驗本題若忽略δ＞0這一隱含條件，結果會造成兩解.
b級(時間：30分鐘滿分：40分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(2012·麗水模擬)若p是以f1，f2為焦點的橢圓＋＝1(a＞b＞0)上的一點，且·＝0，tan∠pf1f2＝，則此橢圓的離心率為( )．
a. b. c. d.
解析在rt△pf1f2中，設|pf2|＝1，則|pf1|＝2.|f1f2|＝，∴e＝＝.
答案 a
2．(2011·汕頭一模)已知橢圓＋＝1上有一點p，f1，f2是橢圓的左、右焦點，若△f1pf2為直角三角形，則這樣的點p有( )．
a．3個 b．4個 c．6個 d．8個
解析當∠pf1f2為直角時，根據橢圓的對稱性知，這樣的點p有2個；同理當∠pf2f1為直角時，這樣的點p有2個；當p點為橢圓的短軸端點時，∠f1pf2最大，且為直角，此時這樣的點p有2個．故符合要求的點p有6個．
答案 c
二、填空題(每小題4分，共8分)
3．在rt△abc中，∠c＝90°，∠a＝30°，則以a，b為焦點，過點c的橢圓的離心率是________．
解析設|bc|＝x(x＞0)，則|ac|＝x，|ab|＝2x，由橢圓定義，可知2a＝|ac|＋|bc|＝(＋1)x,2c＝|ab|＝2x，故e＝＝－1.
答案 －1
4．(2011·鎮江調研)已知f1(－c,0)，f2(c,0)為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，p為橢圓上一點且·＝c2，則此橢圓離心率的取值範圍是________．
解析設p(x，y)，則·＝(－c－x，－y)·
(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2①
將y2＝b2－x2代入①式解得x2＝，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝∈.
答案 三、解答題(共22分)
5．(10分)設f1、f2分別是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，當a＝2b時，點p在橢圓上，且pf1⊥pf2，|pf1|·|pf2|＝2時，求橢圓方程．
解 ∵a＝2b，a2＝b2＋c2，∴c2＝3b2，
又∵pf1⊥pf2，∴|pf1|2＋|pf2|2＝(2c)2＝12b2，
由橢圓定義可知|pf1|＋|pf2|＝2a＝4b，
(|pf1|＋|pf2|)2＝12b2＋4＝16b2，
從而得b2＝1，a2＝4，∴橢圓方程為＋y2＝1.
6．(12分)(2011·大連模擬)設a，b分別為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左，右頂點，為橢圓上一點，橢圓長半軸的長等於焦距．
(1)求橢圓的方程；
(2)設p(4，x)(x≠0)，若直線ap，bp分別與橢圓相交異於a，b的點m，n，求證：∠mbn為鈍角．
(1)解 (1)依題意，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，
設橢圓方程為＋＝1，將代入，
得c2＝1，故橢圓方程為＋＝1.
(2)證明由(1)，知a(－2,0)，b(2,0)，
設m(x0，y0)，則－2＜x0＜2，y＝(4－x)，
由p，a，m三點共線，得x＝，
＝(x0－2，y0)，＝，
·＝2x0－4＋＝(2－x0)＞0，
即∠mbp為銳角，則∠mbn為鈍角．
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