命題要點：(1)拋物線的定義和標準方程(′11年4考，′10年3考)；(2)拋物線的性質(′11年4考，′10年4考).)
a級(時間：40分鐘滿分：60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．拋物線y＝ax2的準線方程是y＝2，則a的值為( )．
a. b．－ c．8 d．－8
解析拋物線的標準方程為x2＝y，由條件得2＝－，a＝－.
答案 b
2．(2011·惠州調研)若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＋＝1的右焦點重合，則p的值為( )．
a．－2 b．2 c．－4 d．4
解析因為橢圓＋＝1的右焦點為(2,0)，所以拋物線y2＝2px的焦點為(2,0)，則p＝4.
答案 d
3．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準線與圓x2＋y2－6x－7＝0相切，則p的值為
( )．
a. b．1 c．2 d．4
解析拋物線y2＝2px(p＞0)的準線為x＝－，圓x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，則圓心為(3,0)，半徑為4；又因拋物線y2＝2px(p＞0)的準線與圓x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2.
答案 c
4．(2011·福州模擬)設f為拋物線y2＝4x的焦點，a、b、c為該拋物線上三點，若＋＋＝0，則
a．9 b．6 c．4 d．3
解析由於拋物線y2＝4x的焦點f的座標為(1,0)，由＋＋＝0，可取＝(－1,0)，此時，＋＝(1,0)，注意到對稱性，可令a的座標為、c的座標為.於是，可得||＋||＋||＝2 ＋1＝5＋1＝6.
答案 b
5．(2011·廣州調研)從拋物線y2＝4x上一點p引拋物線準線的垂線，垂足為m，且|pm|＝5，設拋物線的焦點為f，則△mpf的面積為( )．
a．5 b．10 c．20 d.
解析由拋物線方程y2＝4x易得拋物線的準線l的方程為x＝－1，又由|pm|＝5可得點p的橫座標為4，代入y2＝4x，可求得其縱座標為±4，故s△mpf＝×5×4＝10.
答案 b
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011·如皋模擬)拋物線x＝y2的準線方程為________．
解析由x＝y2變為標準方程為：y2＝4x，故其準線方程為：x＝－1.
答案 x＝－1
7．已知過拋物線y2＝4x的焦點f的直線交該拋物線於a、b兩點，|af|＝2，則|bf
解析 ∵y2＝4x，∴p＝2，f(1,0)，又∵|af|＝2，∴xa＋＝2，∴xa＋1＝2，∴xa＝1.即ab⊥x軸，f為ab的中點．
∴|bf|＝|af|＝2.
答案 2
8．(2011·河南洛陽、安陽統考)點p在拋物線x2＝4y的圖象上，f為其焦點，點a(－1,3)，若使|pf|＋|pa|最小，則相應p的座標為________．
解析由拋物線定義可知pf的長等於點p到拋物線準線的距離，所以過點a作拋物線準線的垂線，與拋物線的交點即為所求點p的座標，此時|pf|＋|pa|最小．
答案 三、解答題(共23分)
9．(11分)拋物線的頂點是雙曲線16x2－9y2＝144的中心，而焦點是該雙曲線的左頂點，求此拋物線的方程．
解雙曲線方程化為－＝1，∴雙曲線中心為o，左頂點為(－3,0)，由題意拋物線方程為y2＝－2px(p＞0)且－＝－3，∴p＝6，方程為y2＝－12x.
10．(12分)已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點m(－3，m)到焦點的距離為5，求拋物線的方程和m的值．
解法一根據已知條件，拋物線方程可設為
y2＝－2px(p＞0)，則焦點f.
∵點m(－3，m)在拋物線上，且|mf|＝5，
故解得或
∴拋物線方程為y2＝－8x，m＝±2.
法二設拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，則準線方程為x＝，由拋物線定義，m點到焦點的距離等於m點到準線的距離，所以有－(－3)＝5，∴p＝4.
∴所求拋物線方程為y2＝－8x，又∵點m(－3，m)在拋物線上，故m2＝(－8)×(－3)，∴m＝±2.
b級(時間：30分鐘滿分：40分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(2011·新課標全國)已知直線l過拋物線c的焦點，且與c的對稱軸垂直，l與c交於a，b兩點，|ab|＝12，p為c的準線上一點，則△abp的面積為( )．
a．18 b．24 c．36 d．
48解析如圖，設拋物線方程為
y2＝2px(p＞0)．
∵當x＝時，|y|＝p，
∴p＝＝＝6.
又p到ab的距離始終為p，
∴s△abp＝×12×6＝36.
答案 c
2．(2011·台州模擬)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為f，f關於原點的對稱點為p，過f作x軸的垂線交拋物線於m、n兩點，有下列四個命題：
①△pmn必為直角三角形；②△pmn不一定為直角三角形；③直線pm必與拋物線相切；④直線pm不一定與拋物線相切．
其中正確的命題是( )．
a．①③ b．①④ c．②③ d．②④
解析因為|pf|＝|mf|＝|nf|，故∠fpm＝∠fmp，∠fpn＝∠fnp，從而可知∠mpn＝90°，故①正確，②錯誤：令直線pm的方程為y＝x＋，代入拋物線方程可得
y2－2py＋p2＝0，δ＝0，所以直線pm與拋物線相切，故③正確，④錯誤．
答案 a
二、填空題(每小題4分，共8分)
3．已知動圓過點(1,0)，且與直線x＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為________．
解析設動圓的圓心座標為(x，y)，則圓心到點(1,0)的距離與其到直線x＝－1的距離相等，根據拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2＝4x.
答案 y2＝4x
4．(2011·濟南模擬)拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是________．
解析如圖，設與直線4x＋3y－8＝0平行且
與拋物線y＝－x2相切的直線為4x＋3y＋b＝0，
聯立方程，得
即3x2－4x－b＝0，則δ＝16＋12b＝0，求得b＝－，
所以切線方程為4x＋3y－＝0，則切點到直線4x＋3y－8＝0的距離也就是所求的最小值，此最小值也即為兩直線間的距離，為＝.
答案 三、解答題(共22分)
5．(10分)設拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點f，q是拋物線上除頂點外的任意一點，直線qo交準線於p點，過q且平行於拋物線對稱軸的直線交準線於r點，求證：·＝0.
證明 y2＝2px(p＞0)的焦點f準線為x＝－.
設q(x0，y0)(x0≠0)，則r，
直線oq的方程為y＝x，此直線交準線x＝－於p點，
易求得p.∴y＝2px0，
∴·＝·(p，－y0)＝p2－＝p2－p2＝0.
6．(12分)如圖所示，拋物線關於x軸對稱，它的頂點在座標原點，點p(1,2)，a(x1，y1)，b(x2，y2)均在拋物線上．
(1)寫出該拋物線的方程及其準線方程；
(2)當pa與pb的斜率存在且傾斜角互補時，求y1＋y2的值及直線ab的斜率．
解 (1)由已知條件，可設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)．
∵點p(1,2)在拋物線上，∴22＝2p×1，解得p＝2.
故所求拋物線的方程是y2＝4x，準線方程是x＝－1.
(2)設直線pa的斜率為kpa，直線pb的斜率為kpb，
則kpa＝(x1≠1)，kpb＝(x2≠1)，
∵pa與pb的斜率存在且傾斜角互補，∴kpa＝－kpb.
由a(x1，y1)，b(x2，y2)均在拋物線上，得
y＝4x1， ①
y＝4x2， ②
∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)．
∴y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
∴kab＝＝＝－1(x1≠x2)．
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