各種題型總結
（一）一元二次方程的概念
1．一元二次方程的項與各項係數
把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項，一次項，常數項：
（12）
（3）（4）
（52．應用一元二次方程的定義求待定係數或其它字母的值
(1)為何值時，關於的方程是一元二次方程？（）（2）若分式，則
3．由方程的根的定義求字母或代數式值
（1）關於的一元二次方程有乙個根為0，則 ．（）
（2）已知關於的一元二次方程有乙個根為1，乙個根為，則0，0）
（3）已知c為實數，並且關於的一元二次方程的乙個根的相反數是方程的乙個根，求方程的根及c的值0，-3， c=0）
（二）一元二次方程的解法
1．用直接開平方法解下列方程：
（1）（） （2）（）
（3）（原方程無實根） （4）（）
（5）（）
2．用配方法解方程：
（12） （）
（3） （）
3．用公式法解下列方程：
（12） （）
（34）（原方程無實數根）
（5）（）
4．用因式分解法解下列方程：
（12）（）
（3）（） （4）（）
（5）（） （6）（）（7）（）
5．解法的靈活運用（用適當方法解下列方程）：
（1）（） （2）（）
（3（4
（56．解含有字母係數的方程（解關於x的方程）：
（1（2
（3）（） （）
（4） （討論a）
（三）一元二次方程的根的判別式
1．不解方程判別方程根的情況：
（1）4 （有兩個不等的實數根） （2） （無實數根）
（3） （有兩個相等的實數根）
2．為何值時，關於x的二次方程
（1）有兩個不等的實數根2）有兩個相等的實數根 （）
（3）無實數根
3．已知關於x的方程有兩個相等的實數根．求ｍ的值和這個方程的根或)
4若方程有實數根，求正整數a的值. （）
5．對任意實數m，求證：關於x的方程無實數根.
6．為何值時，方程有實數根.
（當時，原方程有乙個實數根，；
當時，解得，所以當且時方程有兩個實數根。
綜上所述，當時，方程有實數根.）
7．設為整數，且時，方程有兩個相異整數根，求的值及方程的根．
（當=12時，方程的根為；當=24時，方程的根為）
（四）一元二次方程的應用
1．已知直角三角形三邊長為三個連續整數，求它的三邊長和面積.（3，4，5，面積為6）
2．乙個兩位數，個位上的數字比十位上的數字少4，且個位數字與十位數字的平方和比這個兩位數小4，求這個兩位數.（84）
3．某印刷廠在四年中共印刷1997萬冊書，已知第一年印刷了342萬冊，第二年印刷了500萬冊，如果以後兩年的增長率相同，那麼這兩年各印刷了多少萬冊？ (550, 605)
4．某人把5000元存入銀行，定期一年到期後取出300元，將剩餘部分（包括利息）繼續存入銀行，定期還是一年，且利率不變，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率？（不計利息稅10℅）
5．某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售增加盈利，盡快減少庫存，商場決定採取適當降價措施，經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？（20元6．已知甲乙兩人分別從正方形廣場abcd的頂點b、c同時出發，甲由c向d運動，乙由b向c運動，甲的速度為每分鐘1千公尺，乙的速度每分鐘2千公尺，若正方形廣場周長為40千公尺，問幾分鐘後，兩人相距千公尺2分鐘後)
7．某科技公司研製一種新產品，決定向銀行貸款200萬元資金，用於生產這種產品，簽訂的合同上約定兩年到期時一次性還本付息,利息為本金的8%,該產品投放市場後由於產銷對路,使公司在兩年到期時除還清貸款的本金和利息外,還盈餘72萬元,若該公司在生產期間每年比上一年資金增長的百分數相同,試求這個百分數. (20%)
8．如圖，東西和南北向兩條街道交於o點，甲沿東西道由西向東走，
速度是每秒4公尺，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3公尺，當乙通
過o點又繼續前進50公尺時，甲剛好通過o點，求這兩人在相距85公尺
時，每個人的位置甲離o84公尺，乙離o13公尺）
9．已知關於x的方程①有兩個相等的實數根.
(1)求證：關於y的方程②必有兩個相等的實數根。
(2)若方程①的一根的相反數恰好是方程②的乙個根，求代數式的值． （14）
10．一次函式和反比例函式，（1）k滿足什麼條件時，這兩個函式在同一坐
標係中的圖象有兩個交點？（2）設（1）中的兩個公共點為a、b，是銳角還是鈍角？（；鈍角）
十二、補充習題
1．方程的解是（ ）．
a．， b．， c． d．
2．方程的解是（ ）．
a．， b．， c．， d．
3．已知2是關於的方程的乙個根，則的值是（ ）．
a．3b．4c．5d．6
4．關於的一元二次方程的乙個根是0，則的值是（ ）．
a．1bc．1或 d．0.5
5．已知下列方程：，，，，其中，整式方程的個數是（ ）．
a．1b．2c．3d．4
6．方程的根是（ ）．
a．2bc．或2 d．1或2
7．用換元法解方程時，如果設，那麼原方程可化為（ ）．
a． b． c． d．
8．*方程的實根的個數是（ ）．
a．3b．2c．1d．沒有
9．如果，那麼的值等於（ ）．
a．1bcd．
10．冰雪節期間，幾名同學包租一輛麵包車前去旅遊，麵包車的租價為180元．出發時，又增加了兩名同學，結果每名同學比原來少分攤3元車費．若設參加遊覽的學生共有人，則所列的方程為（ ）．
a． b． c． d．
11．用直接開平方法解下列各方程：
（1）；（2）；（3）；（4）．
12．用配方法解下列各方程：
（1）；（2）；（3）；（4）．
13．用公式法解下列各方程：
（1）；（2）；（3）；（4）．
14．用因式分解法解下列各方程：
（12）；
（3）； （4）．
15．閱讀下題的解答過程，請判斷其是否有錯；若有錯，請你寫出正確答案．
已知是關於的方程的乙個根，求的值．
將代入原方程，化簡，得．
兩邊同除以，得，所以．
把代入原方程檢驗，可知符合題意，所以的值是1．
16．要使關於的方程與有且只有乙個公共根，求的值．
17．是否存在使函式的函式值為0的值，若存在，就把它求出來；若不存在，請說明理由．
18．*解下列分式方程：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）．
19．乙個兩位數，兩個數字上的數字之和為6，兩個數之積等於這個數的三分之一，求這個兩位數．
20．已知：如圖，在一塊長80cm，寬60cm的白鐵片的四個角上截去四個相同的小正方形，然後把四邊摺起來，做成底面積是1500的沒有蓋的長方體盒子，問截去的小正方形邊長是多少？
21．某林場準備修一條長1000公尺，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.4萬平方公尺，上口寬比渠面深多2.3公尺，渠底寬比渠深多0.3公尺．
（1）渠道的上口與渠底寬各是多少？
（2）如果計畫每天挖土70立方公尺，需要多少天才能把這條渠道的土挖完？
22．舊車交易市場有一輛原價為12萬元的轎車，但已使用3年．如果第一年的折舊率為20%，以後折舊率有所變化；現知第三年末這輛轎車值7.776萬元，求這輛車第二年、第三年平均每年的折舊率．
23．某工廠2023年初投資100萬元生產某種新產品，2023年底將獲得的利潤與年初的投資的和作為2023年初的投資，到2023年底兩年共獲利潤56萬元．已知2023年的年獲利率比2023年的年獲利率多10個百分點，求2023年和2023年的年獲利率各是多少？
24．某農戶種植花生，原來種植的花生單位面積產量為200千克，出油率為50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克），現在種植新品種花生後，每單位面積收穫的花生可加工成花生油132千克，其中花生的出油率的增長率是單位面積產量的增長率的一半，求新品種花生單位面積產量的增長率．
參***：
1．a 2．b 3．c 4．b 5．b 6．b 7．d 8．c 9．a 10．d
11．（12），
（3）， （4），
12．（12），
（3）， （4），
13．（12），
（3）， （4）
14．（1），（2），（3）（4），
15．有錯，的值是0，1或1617．
18．（1），（2）（是增根）（3）（是增根）
（4），（5），
19．設十位為，則，解得，，此數為15或24．
20．設小正方形邊長為，則，解得，（舍），即小正方形邊長為15cm．
21．（1）設渠道深公尺，則，解得，（舍），即上口寬3公尺，渠底寬1公尺；（2）（天）．
22．設折舊率為，則，解得，（舍），折舊率10%．
《一元二次方程》題型梳理
一 一元二次方程的概念 1 關於的一元二次方程常數項為，則的 值為2 若是關於x的一元二次方程，則 a a 1 b a 1 c a 1 d a 0且b 0 二 一元二次方程的解 一 解法 1.一元二次方程的解是 a.b.c.d.2 用配方法解方程時，原方程應變形為 a b c d 3 一元二次方程的...
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