24.1.2 垂直於弦的直徑
【知能點分類訓練】
知能點1 圓的對稱性
1．圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是_______，圓還是中心對稱圖形，它的對稱中心是_______．
2．兩個同心圓的對稱軸（ ）．
a．僅有1條 b．僅有2條 c．有無數條 d．僅有有限條
3．如圖所示，ab是⊙o的一條弦，作直徑cd，使cd⊥ab，垂足為e．
（1）圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什麼？
（2）你能發現圖中有哪些相等的線段和弧嗎？為什麼？
（3）①在圖中，連線oa，ob，則△oab是等腰三角形，那麼直徑cd既是⊙o的________，又是△oab的________．
②把圓沿著直徑cd摺疊時，cd兩側的兩個半圓重合，點a與點b重合，ae與____重合，與______重合，與_____重合．
③同理可得到ae_____be
知能點2 垂直於弦的直徑
4．如圖所示，ab是⊙o的直徑，cd為弦，cd⊥ab於e，則下列結論中不一定成立的是（ ）．
a．∠coe=∠doe b．ce=de c．oe=bed．
第4題第5題第8題)
5．如圖所示，在⊙o中，od⊥ab於p，ap=4cm，pd=2cm，則op的長等於（ ）．
a．9cm b．6cm c．3cm d．1cm
6．在⊙o中，cd為直徑，ab為弦，且cd平分ab於e，oe=3cm，ab=8cm，則⊙o的半徑為________．
7．在⊙o中，直徑ab垂直於弦cd於e，∠cod=100°，則∠coe=_______．
8．如圖所示，已知ab是⊙o的直徑，弦cd與ab相交於點e，當______時，cd⊥ab．（填寫乙個你認為適當的條件）
9．如圖所示，在△abc中，∠c=90°，ac=3，bc=4，以點c為圓心，ca為半徑的圓與ab，bc分別交於點d，e，求ab，ad的長．
10．如圖所示，在⊙o中，ab，cd為兩條弦，且ab∥cd，直徑mn經過ab中點e，交cd於f，試問：（1）點f是cd的中點嗎？ （2）嗎？
【綜合應用提高】
11．如圖所示，圓弧形橋拱的跨度ab=12m，拱高cd=4m，則拱橋的直徑為（ ）．
a．6.5m b．9m c．13m d．15m
(第11題第12題)
12．如圖，在直徑為10m的圓柱形油槽內裝入一些油後，油麵寬ab=8m，那麼油的最大深度是
13．如圖所示，一條公路的轉彎處是一段圓弧，即圖中，點o是的圓心，cd=600m，e為上一點，且oe⊥cd於f，ef=90m，則這段彎路的半徑是多少？
14．一座橋，橋拱是圓弧形（水面以上部分），測量時只測到橋下水面寬ab為16m（如圖），橋拱最高處離水面4m．
（1）求橋拱半徑；
（2）若大雨過後，橋下面河面寬度為12m，問水面漲高了多少．
15．如圖所示，某地有一座圓弧形的拱橋，橋下的水平寬度為7.2m，拱頂高出水面2.4m，現有一艘寬為3m，船艙頂部為長方形，並高出水面2m的貨船要經過這裡，此貨船能順利通過這座拱橋嗎？
用你所學的數學知識說明理由．
【開放探索創新】
16．不過圓心的直線l交⊙o於c，d兩點，ab是⊙o的直徑，ae⊥l，垂足為e，bf⊥l， 垂足為f．
（1）在圖所示的三個圓中分別補畫出滿足上述條件的具有不同位置關係的圖形．
（2）請你觀察（1）中所畫的圖形，寫出乙個各圖都具有的兩條線段相等的結論（不再標註其他字母），找結論的過程中所連輔助線不能出現在結論中，不寫推理過程．
（3）請你選擇（1）中的乙個圖形，證明（2）所得的結論．
【中考真題實戰】
17．（黑龍江）如圖所示，在⊙o中，ab，ac為互相垂直且相等的弦od⊥ab，oe⊥ac，垂足分別為d，e，若ac=2cm，則⊙o的半徑為________．
第17題第19題)
18．（武漢）過⊙o內一點m的最長弦為10cm，最短弦長為8cm，那麼om的長為（ ）．
a．3cm b．6cm c．cm d．9cm
19．（南昌）如圖所示，在平面直角座標系中，⊙o′與兩座標軸分別交於a，b，c，d四點，且ac=bd．已知a（6，0），b（0，-3），c（-2，0），則點d的座標是（ ）．
a．（0，2） b．（0，3） c．（0，4） d．（0，5）
20．（河北）工人師傅為檢測該廠生產的一種鐵球的大小是否符合要求，設計了乙個如圖（1）所示的工件槽，其中工件槽的兩個底角均為90°，尺寸如圖（單位：cm），將形狀規則的鐵球放入槽內時，若同時具有圖（1）所示的a，e，b三個接觸點，該球的大小就符合要求．
圖（2）是過球心o及a，b，e三點的截面示意圖，已知⊙o的直徑就是鐵球的直徑，ab是⊙o的弦，cd切⊙o於點e，ac⊥cd，bd⊥cd，請你結合圖（1）中的資料，計算這種鐵球的直徑．
答案:1．經過圓心的任意一條直線圓心
2．c3．（1）是．直徑cd所在的直線．
（2）相等的線段有ae=be；相等的弧有，．
根據此圖形是軸對稱圖形，圖形兩側部分重合．
（3）①對稱軸對稱軸 ②be ③=
4．c5．c 提示：鏈結oa，則oa2+（od-pd）2=ap2，即oa2+（oa-2）2=42，
∴oa=5，op=od-pd=oa-pd=3cm．
6．5cm
7．50°
8．（或ce=de，或）
9．解：如右圖所示，作cp⊥ab於p．
在rt△abc中，由勾股定理，得
ab==5．
由s△abc=ab·cp=ac·bc，
得cp=×3×4，所以cp=．
在rt△acp中，由勾股定理，得
ap==．
因為cp⊥ad，所以ap=pd=ad，
所以ad=2ap=2×=．
10．解：如右圖所示，（1）點f是cd的中點．
∵直徑mn平分不是直徑的弦ab，
∴mn⊥ab，
∵ab∥cd，
∴mn⊥cd，
∴cf=fd．
（2）由mn⊥ab，mn⊥cd得
，，∴，即．11．c 12．2cm
13．解：如右圖所示，連線od．
∵oe⊥cd，∴df=×600m=300m．
在rt△dof中，od2=of2+df2，
∴r2=（r-90）2+3002，
∴r=545（m）．
∴這段彎路的半徑是545m．
14．解：（1）如右圖所示，設點o為ab的圓心，點c為ab的中點，
連線oa，oc，oc交ab於d，由題意得ab=16m，cd=4m，
由垂徑定理得oc⊥ab，ad=ab=×16=8（m）．
設⊙o半徑為xm，則在rt△aod中，
oa2=ad2+od2，即x2=82+（x-4）2
解得x=10，所以橋拱的半徑為10m．
（2）設河水**到ef位置（如上圖所示），
這時ef=12m，ef∥ab，有oc⊥ef（垂足為m）．
∴em=ef=6m．
連線oe，則有oe=10m，
om==8（m）．
od=oc-cd=10-4=6（m），
om-od=8-6=2（m）．
15．解：如右圖所示，作出所在的圓心o，連線oa，on．
設oa=r，則od=oc-dc=r-2.4，ad==3.6．
在rt△oad中，有oa2=ad2+od2，
即r2=3.62+（r-2.4）2，解得r=3.9．
又在rt△onh中，有oh==3.6，
fn=dh=oh-cd=3.6-（3.9-2.4）=2.1（m），
這裡2m<2.1m，有0.1m的等量，因此貨船可以通過這座拱橋．
16．解：（1）
（2）結論：ec=fd或ed=fc．
（3）選擇（1），證明：
過o作og⊥cd於g，則cg=gd．
∵ae⊥cd，bf⊥cd，
∴ae∥og∥bf，則四邊形aefb為梯形，
∵ab為⊙o的直徑，∴oa=ob，
∴eg=gf，∴eg-cg=gf-gd，
即ec=df．
17．cm
18．a 19．d
20．解：連線oe，交ab於f，連線oa，由題意得四邊形abdc是矩形，
由圓的軸對稱性可知oe⊥cd．
∵cd∥ab，∴oe⊥ab．
且af=ab=×16=8（cm），
ef=ac=4cm，設⊙o的半徑為r，在rt△afo中，
oa2=of2+af2，即r2=（r-4）2+82，
解得r=10，∴2r=20．
所以這種鐵球的直徑為20cm．
垂直於弦的直徑
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《垂直於弦的直徑》說課稿
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24 1 2垂直於弦的直徑
24 1圓 第二課時 隨堂檢測 1 如圖，如果ab為 o的直徑，弦cd ab，垂足為e，那麼下列結論中，錯誤的是 a ce de b c bac bad d acad 2 如圖，o的直徑為10，圓心o到弦ab的距離om的長為3，則弦ab的長是 a 4 b 6 c 7 d 8 3 某居民小區一處圓形下...