導數及其應用
一． 導數概念的引入
1. 導數的物理意義：瞬時速率。一般的，函式在處的瞬時變化率是，
我們稱它為函式在處的導數，記作或，即
=例1． 在高台跳水運動中，運動員相對於水面的高度h（單位：m）與起跳後的時間t(單位：s)存在函式關係
運動員在t=2s時的瞬時速度是多少？
解：根據定義
即該運動員在t=2s是13.1m/s,符號說明方向向下
2. 導數的幾何意義：曲線的切線.通過影象,我們可以看出當點趨近於時，直線與曲線相切。容易知道，割線的斜率是，當點趨近於時，函式在處的導數就是切線pt的斜率k，即
3. 導函式：當x變化時，便是x的乙個函式，我們稱它為的導函式.的導函式有時也記作,即
二.導數的計算
(1)1.函式的導數2.函式的導數
3.函式的導數4.函式的導數
(2)基本初等函式的導數公式:
1若(c為常數)，則； 2 若,則;
3 若,則 4 若,則;
5 若,則 6 若,則
7 若,則 8 若,則
(3)導數的運算法則
1. 2.
3. (4)復合函式求導
和,稱則可以表示成為的函式,即為乙個復合函式
三.導數在研究函式中的應用
1.函式的單調性與導數:
一般的,函式的單調性與其導數的正負有如下關係：
在某個區間內，如果，那麼函式在這個區間單調遞增；
如果，那麼函式在這個區間單調遞減.
2.函式的極值與導數
極值反映的是函式在某一點附近的大小情況.
求函式的極值的方法是:
(1) 如果在附近的左側,右側,那麼是極大值;
(2) 如果在附近的左側,右側,那麼是極小值;
3.函式的最大(小)值與導數
函式極大值與最大值之間的關係.
求函式在上的最大值與最小值的步驟
（1） 求函式在內的極值；
（2） 將函式的各極值與端點處的函式值，比較，其中最大的是乙個最大值，最小的是最小值.
四.生活中的優化問題
利用導數的知識,,求函式的最大(小)值,從而解決實際問題
第二章推理與證明
考點一合情推理與模擬推理
根據一類事物的部分物件具有某種性質,退出這類事物的所有物件都具有這種性質的推理,叫做歸納推理,歸納是從特殊到一般的過程,它屬於合情推理
根據兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質的推理,叫做模擬推理.
模擬推理的一般步驟:
(1) 找出兩類事物的相似性或一致性;
(2) 用一類事物的性質去推測另一類事物的性質,得出乙個明確的命題(猜想);
(3) 一般的,事物之間的各個性質並不是孤立存在的,而是相互制約的.如果兩個事物在某些性質上相同或相似,那麼他們在另一寫性質上也可能相同或類似,模擬的結論可能是真的.
(4) 一般情況下,如果模擬的相似性越多,相似的性質與推測的性質之間越相關,那麼模擬得出的命題越可靠.
考點二演繹推理(俗稱三段論)
由一般性的命題推出特殊命題的過程,這種推理稱為演繹推理.
考點三數學歸納法
1. 它是乙個遞推的數學論證方法.
2. 步驟:a.命題在n=1（或）時成立，這是遞推的基礎；
b.假設在n=k時命題成立
c.證明n=k+1時命題也成立,
完成這兩步,就可以斷定對任何自然數(或n>=,且)結論都成立。
考點四證明
（1）反證法2）分析法3）綜合法:
第三章數系的擴充和複數的概念
考點一:複數的概念
(1) 複數:形如的數叫做複數，和分別叫它的實部和虛部.
(2) 分類:複數中,當,就是實數;,叫做虛數;當時,叫做純虛數.
(3) 複數相等:如果兩個複數實部相等且虛部相等就說這兩個複數相等.
(4) 共軛複數:當兩個複數實部相等,虛部互為相反數時,這兩個複數互為共軛複數.
(5) 復平面:建立直角座標系來表示複數的平面叫做復平面,x軸叫做實軸，y軸除去原點的部分叫做虛軸。
(6) 兩個實數可以比較大小，但兩個複數如果不全是實數就不能比較大小。
考點二：複數的運算
1.複數的加，減，乘，除按以下法則進行
（1）設則
（2）（3）
2,幾個重要的結論
(1) (2)
(3)若為虛數,則
3.運算律
(1);(2);(3)
4.關於虛數單位i的一些固定結論：
（1）（2） （3） （2）
知識網路
一：兩個計數原理
1. 分類加法計數原理：完成一件事，有類辦法，
在第1類辦法中有種不同的辦法；
在第2類辦法中有種不同的方法；
.....
在第類辦法中有種不同的方法
那麼，完成這件事共有中不同的方法.
2. 分步乘法計數原理：完成一件事，需要分成個步驟，
做第1步有種不同的方法；
做第2步有種不同的方法；
.....
做第步有種不同的方法
那麼，完成這件事共有種不同的方法.
3、兩個計數原理的區別
二、排列與組合
1.排列
（1）排列定義：一般地，從個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的乙個排列。
（2）排列數：從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數叫做從個不同元素中取出個元素的排列數。用符號表示.
（3）排列數公式：
其中，並且
特殊的，當時，即有
稱為的階乘，通常用表示，即
2. 組合：
（1）組合定義：一般地，從個不同元素中取出個元素合成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的乙個組合。
（2）組合數：從個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數叫做從個不同元素中取出個元素的組合數。用符號表示。
（3）組合數公式：
其中，並且規定
注意：判斷乙個具體問題是否為組合問題,關鍵是看取出的元素是否與順序有關,有關就是排列,無關便是組合.判斷時要弄清楚「事件是什麼」.
（4）組合數的性質：
排列、組合問題幾大解題方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）**法：在特定要求的條件下，將幾個相關元素當作乙個元素來考慮，待整體排好之後再考慮它們「區域性」的排列。它主要用於解決「元素相鄰問題」；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然後把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決「元素不相鄰問題」；
（5）佔位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優先排列，然後再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優先考慮，然後再排其他剩餘位置。即採用「先特殊後一般」的解題原則；
（6）調序法：當某些元素次序一定時，可用此法；
(7）平均法：若把n個不同元素平均分成k組，每組n個，共有；
（8）隔板法：常用於解正整數解組數的問題；
（9）定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規定某r個元素都包含在內，並且都排在某r個指定位置則有；
（10）指定元素排列組合問題：
①從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列（或組合），規定某r個元素都包含在內。先c後a策略，排列；組合；
②從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規定某r個元素都不包含在內。先c後a策略，排列；組合；
③從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規定每個排列（或組合）都只包含某r個元素中的s個元素。先c後a策略，排列；組合。
二.二項式定理
1.一般地，對於任意正整數n，都有
這個公式就叫做二項式定理，右邊的多項式叫做的二項展開式。其中各項的係數叫做二項式係數。
注意：（1）二項展開式有n+1項；
（2）二項式係數與二項展開式係數是兩個不同的概念；
（3）每一項的次數是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的公升幕排列展開；
（4）二項式定理通常有如下變形：
①；②；
（5）要注意逆用二項式定理來分析問題、解決問題。
2.二項展開式的通項公式
二項展開式的第n+1項＝叫做二項展開式的通項公式。它體現了二項展開式的項數、係數、次數的變化規律，是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定的項及其係數方面有著廣泛的應用。
注意：（1）通項公式表示二項展開式的第r+1項，注意二項式係數和係數的分別。
（2）字母b的次數和組合數的上標相同；
（3）a與b的次數之和為n。
3、二項式係數的性質
（1）對稱性：與首末兩端「等距離」的兩個二項式係數相等，
（2）增減性與最大值：當k＜時，二項式係數是逐漸增大的。由對稱性知，它的後半部分是逐漸減小的，且在中間取最大值。
當n為偶數時，則中間一項的二項式係數最大；當n為奇數時，則中間的二項式係數與相等，且同時取得最大值。
求展開式係數的最大問題，首先要區分「展開式係數最大」「二項式係數最大」以及「最大項」等；其次要注意展開式係數是離散型變數，因此在係數均為正數的前提下，它們的最大值只需比較相鄰兩個的大小，根據通項公式正確地列出不等式組即可。
（3）3
(4)當為偶數時，二項式係數 ;當為奇數時，.
(5)各二項式係數的和：=。
(6) （令）
注意：（1）求二項式所有項的係數和，可以採用「特殊值取代法」，通常令字母變數的值為1，即=。
一般地，多項式f(x)=+x+x+…+的各項係數和為f(1)，奇次方係數和為［f(1)-f(-1)］，偶次項係數和為［f(1)+f(-1)］。
（2）關於組合恒等式的證明，常採用「構造法」——建構函式或構造同一問題的兩種演算法。
4二項式定理的應用
（1）要注意二項式定理的雙向功能：一方面可將二項式展開，另一方面可將展開式合併為二項式，即二項式定理從左到右使用為展開，從右到左使用可以化簡、求和或證明，這種公式的逆用不可忽視。
（2）由於二項式定理是乙個恒等式，因此通過對a、b取不同的特殊值，可得到一些給解決某些問題帶來方便的特例恒等式。
高二數學選修22知識點
第一章導數及其應用 一 導數概念的引入 1.導數的物理意義 瞬時速率。一般的，函式在處的瞬時變化率是，我們稱它為函式在處的導數，記作或，即 2.導數的幾何意義 曲線的切線.通過影象,我們可以看出當點趨近於時，直線與曲線相切。容易知道，割線的斜率是，當點趨近於時，函式在處的導數就是切線pt的斜率k，即...
高中數學選修2 2知識點總結
基本初等函式的導數公式 1若 c為常數 則2 若,則 3 若,則4 若,則 5 若,則6 若,則 7 若,則8 若,則 導數的運算法則 12.3.導數在研究函式中的應用 1.函式的單調性與導數 一般的,函式的單調性與其導數的正負有如下關係 在某個區間內，如果，那麼函式在這個區間單調遞增 如果，那麼函...
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