第九講：等差數列的綜合應用
一、等差數列的相關概念
項：首項、中項、末項
項數：就是等差數列一共有多少個數
公差：相鄰兩數之間的差
二、基本公式
1、通項公式：什麼時候用？——知道首項和公差，求某一項
第n項=首項+公差×（n-1）
輔助記憶：五指法（指頭是項，空是公差，公差個數比項數少1，第2項是第1項加1個公差，第3項是第1項加2個公差，第5項是第一項加4個公差……）
2、項數公式：什麼時候用？——知道首項、末項及公差，求項數
項數=（末項-首項）÷公差+1
輔助記憶：小魔豆吃肉（先算它一共吃了多少肉，再看吃了多少天，別忘了最後要加1天）
3、求和公式（高斯公式）：什麼時候用？——任何乙個等差數列求和
和=（首項+末項）×項數÷2
4、中項公式：什麼時候用？——對於容易找到中項的等差數列求和
和=中項×項數
注意：（1）對於項數為奇數的等差數列，很好用
如：2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 8×7 = 56
（2）對於項數為偶數的等差數列，可以假設出乙個中間數
如：2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 9×8 = 72
假設出中間數是（8+10）÷2= 9
（3）要熟悉運用逆向思維：已知等差數列的和，就能很方便求出中項（或假設的中項如：乙個等差數列共有5個數，和是100。那麼中項就是100÷5=20
（4）根據求和公式和中項公式的聯絡：（首項+末項）÷2 = 中項
5、等差數列中任意兩項的差
第n項-第m項=公差×（n-m）
三、講義例題講解
1、運用公式進行計算
例3 對於數列4、7、10、13、16、19……，第10項是多少？49是這個數列的第幾項？第100項與第50項的差是多少？
解析：題目告訴的是乙個等差數列，那就看問的是什麼，用相應的公式求解即可。
三年級春季（六級下）9·1
第一問，問的是某一項，用通項公式：4+3×（10-1）=31
第二問，49是第幾項，其實就是問這個數列寫到49一共寫了多少項。
用項數公式：（49-4）÷3+1=16
第三問，某兩項之間的差：3×（100-50）=150
（提高）學案1 把210拆成7個自然數的和，使這7個數從小到大排成一行後，相鄰兩個數的差都是5，那麼，第1個數與第6個數分別是多少？
解析：對於枯燥抽象的題，同學們可以用畫圖形象地把條件表示出來。本題畫圖如下：+5 +5 +5 +5 +5 +5
210知道這7個數組成了遞增的等差數列，和是210，很容易能算出中項（其實就是平均數），中項（第4項）：210÷7=30
第1項（與第4項相差3個公差）：30-3×5=15
第6項（與第4項相差2個公差）：30+2×5=40
（尖子）學案2 在1~100這一百個自然數中，所有不能被9整除的數的和是多少？
解析：不能被9整除的數太多了，也不是等差數列。那反過來想，能被9整除的數是等差數列，用1~100的和，減去能被9整除的數的和，就是所要求的和啦。
1~100的和：（1+100）×100÷2=5050
能被9整除的數的和：（9+18+27+……+99）=9×（1+2+3+……+11）=9×66=594
最終結果：5050-594=4456
例4 100個連續自然數（按從小到大的順序排列）的和是8450，取出其中第1個，第3個……第99個，再把剩下的50個數相加，得多少？
解析：方法一：100個連續自然數是公差為1的等差數列，拿走第1個，第3個……第99個，剩下的50個數是乙個公差為2的等差數列，要求和，只要知道其中的首項和末項，就可以用求和公式了。
怎麼算出其中的首項呢？
8450÷100=84.5（這是假設的中項）由此可推出第50個數是84，第51個數是85
這100的數的第1個數應該是84-49=35
剩下的50個數應該是36、38、40……最後乙個是36+2×（50-1）=134
求和：（36+134）×50÷2=4250
注：當然也可以用8450÷50得到第1個數與第100個數的和是169，進而用和差公式求出第1個數為（169-99）÷2=35。
方法二：想象這100個數分成了兩隊——單數項隊和雙數項隊，每隊都是50個數，雙數項隊每乙個數都比對應的單數項隊大1，所以雙數項隊的和比單數項隊的和大50，而兩隊之和就是8450，直接用和差公式得到結果：（8450+50）÷2=4250，這種方法是不是更簡單呢？
2、與數列有關的應用題
例5 乙個大劇院，座位排列成的形狀像是乙個梯形，第一排有10個座位，第二排有12個座位，第三排有14個座位，……最後一排有210個座位，那麼劇院中間一排有多少個座位呢？這個劇院一共有多少個座位呢？
解析：本題問中間排有多少座位，說明一定有中間排（即排數是單數）。
中項=（首項+末項）÷2=（10+210）÷2=110（個）
第二問，要求和，已經算出了中項，只要再求出項數就可以用中項公式了。
排數：（210-10）÷2+1=101（排）
總數：110×101=11110（個）
3、規律型問題
例6 把自然數按下面形式排列，它的第一行是1、2、4、7……問第一行的第100個數是幾？ 解析：
124711 (3)
5812 (6)
913 (10)
14 (15)
… …
接看第一行，發現規律如下
麼第100項=1+1+2+3+4+……+99=1+（1+99）×99÷2=4951
繼續的。第一斜行是1尖子）學案4 用3根等長的火柴棍擺成乙個等邊三角形，用這樣的等邊三角形，按圖所水平方向有火柴1+2+3+……+10=55（根）
55根，
三角形，第一層有1個，
（根）方法一：直 1， 2， 4， 7， 11……
那方法二：找到數表的規律，連續的自然數按照一斜行一斜行的方式在個數，第二斜行是2個數，以此類推，第一行的第100個數是第100斜行的第1個數，那它前面應該有99個斜行，即前面有1+2+3+4+……+99=（1+99）×99÷2=4950（個） 那麼第一行的第100個數應該是4950+1=4951
（示鋪滿乙個大的等邊三角形，如果這個大的等邊三角形的底邊放10根火柴，那麼一共要放多少根火柴？
解析：方法一：同理，向左下方傾斜的火柴和向右下方傾斜的火柴各有共有火柴：3×55=165（根）
方法二：如右圖，只看尖朝上的第二層有2個，……第一層用了火柴3根，第二層用了
火柴6根，以此類推，則共有火柴
3+6+9+……+30=（3+30）×10÷2=165+1 +2 +3 +4
充：（2023年迎春杯中年級複賽題）張杰從27起寫了26個連續奇數，王強從26起寫了張杰和王強寫的都分別是乙個等差數列，可以分別求和，再算差
=51法二：對比張杰和王強寫的數
1+2+3+4+……+26=（1+26）×26÷2=351
補26個連續自然數，然後他們分別將自己寫的26個數求和，那麼這兩個和的差是？ 解析：
方法一：張杰寫的數：最後乙個數是27+2×（26-1）=77
和：（27+77）×26÷2=1352
王強寫的數：最後乙個數是26+1×（26-1和：（26+51）×26÷2=1001
兩個和的差：1352-1001=351
方張傑：27，29，31，33，……，77
王強：26，27，28，29，……，51
相差：1， 2， 3， 4， ……，26
所以張杰寫的數比王強寫的數一共大
2023年春季班初三數學學科第九講
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四年級第一講預備知識點等差數列
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第三講等差數列 1 3 4 5 99 100 99 5 4 2 有乙個五邊形，如右圖，它的中心是乙個點作為第一層，第二層每邊有2個點，第三層每邊有3個點，這個五邊形點陣共有100層，求這100層的點數。3 1 1999 2 1999 3 1999 1998 1999 1999 1999 4 有一座掛...