二模圓的證明與計算
1、（順義）21．如圖，是△abc的外接圓，ab = ac ，過點a作
ad∥bc交bo的延長線於點d．
（1）求證：ad是的切線；
（2）若的半徑ob=5，bc=8，求線段ad的長．
（1）證明：鏈結ao，並延長交於e，交bc於f．
∵ab = ac ，
∴．1分
∴．∵ad∥bc，
∴．∵ao是半徑，
∴ad是的切線2分
（2）解：∵ae是直徑，，bc=8，
3分∵ob=5，
∴．∵ad∥bc，
∴△aod∽△fob4分
∴．5分
2、(平谷) 20．如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，點d是ab邊上一點，以bd為直徑的⊙o與邊ac相切於點e，連線de並延長de交bc的延長線於點f．
（1）求證：bd=bf；
（2）若cf=1，cosb=，求⊙o的半徑．
（1）證明：鏈結oe．
∵ac切⊙於點e，∴∠aeo=90°.
∵∠acb=90°∴∠acb=∠aeo.
∴oe∥bc.
∴∠oed=∠bfd．
∵oe=od，∴∠oed=∠ode．
∴∠bfd=∠ode．
bd=bf2分
（2）∵oe∥bc,∴∠aoe=∠b．
∵,∴．
設oe=3x，則oa=5x，ob=3x．
∴bd=bf=6x，ab=8x．
∵cf=1，∴bc=6x-1.
∵．解得，．
∴ob=3x=．
∴⊙o的半徑是5分
3、（房山）21．已知：如圖，△abc內接於⊙o，於h， 0，過a點的直線與oc的延長線交於點d，，.
（1）求證：ad是⊙o的切線；
（2）若e為⊙o上一動點，連線ae交直線od於點p，問：是否存在點p,使得pa+ph的值最小，若存在求pa+ph的最小值，若不存在，說明理由.
21.解：（1）連線ao
∵01分
∵ao=co∴∴
∴ad是⊙o的切線2分
（2）∵,oa=oc
∴aoc為等邊三角形
在rtaod中，∵,∴
∵3分作a關於od的對稱點,連線交od於點p，根據對稱性及兩點之間線段最短可知此點p使pa+ph的值最小4分∴∴
∵,of=10
5分即pa+ph的最小值為
4、(西城)21．如圖，ab為⊙o的直徑，弦cd⊥ab於點h，過點b作⊙o的切線與ad的延長線交於f．
（1）求證：
（2）若sinc=，df=6，求⊙o的半徑．
21．（1）證明：∵bf為⊙o的切線，
∴ab⊥bf於點b．
∵ cd⊥ab，
∴∠abf =∠ahd =90°．
∴cd∥bf．
∴∠adc=∠f．
又∵∠abc=∠adc，
∴∠abc=∠f． ……2分
（2）解：連線bd．
∵ab為⊙o的直徑，
∴∠adb =90°，
由（1）∠abf =90°，
∴∠a=∠dbf．
又∵∠a=∠c．
∴∠c=∠dbf． 3分
在rt△dbf中，，df=6，
∴bd=8． 4分
在rt△abd中，，
∴．∴⊙o的半徑為． 5分
.5、（門頭溝）20. 如圖，線段bc切⊙o於點c，以為直徑，連線ab交⊙o於點d，點是的中點，交於點，鏈結ob、de交於點f．
（1）求證：是⊙o的切線；
（2）若，求的值．
20. （1）證明：鏈結od、cd（如圖）
∵ac是⊙直徑
1分∵點e是bc的中點，
． ，．……………2分，．
3分．即de是⊙的切線
（2）解：鏈結oe．則oe∥ab，
∴△oef∽△bdf.
∵bc切⊙於點c
∴在中，，
∴ 根據勾股定理得，ab = 8，……………4分
∴ oe= 4，∵∠a=60°．
∴ 是邊長為2的等邊三角形，
∴ ，bd= ab-ad =6．
5分6、（通州）21．如圖，△abc內接於⊙o，弦ad⊥ab交bc於點e，過點b作⊙o的切線交da的延長線於點f，且∠abf＝∠abc．
（1）求證：ab＝ac；
（2）若ad＝4,cos∠abf＝，求de的長．
21． 證明（1）：連線bd
∵ad⊥ab
∴∠dab=90
∴bd為⊙o的直徑
∵bf是⊙o的切線
∴∠dbf=90
∴∠abf=∠d
∵弧ab=弧ab
∴∠d=∠c
∴∠abf =∠c
∵∠abf=∠abc
∴∠abc=∠c
∴ab=ac2分)
解（2）：∵∠abf =∠d
∴cos∠abf＝cos∠d＝
在rt△adb中，∠bad=90°，
∵cos∠d=，ad=4
∴bd=5
∴ab==3
∴∠abc=∠c=∠abf
在rt△abe中，∠bae=90°
∵cos∠abe=
∴be=
∴ae=
∴de=ad﹣ae5分)
7、（昌平）21．如圖，已知bc為⊙o的直徑， ec是⊙o的切線，c是切點，ep交⊙o於點a，d，交cb延長線於點p. 連線cd，ca，ab.
（1）求證：∠ecd=∠eac；
（2）若pb=ob=2，cd=3，求pa的長.
21. （1）證明：連線bd.
∵bc為⊙o的直徑，
1分∵ec與⊙o相切,∴∵
2分∵∴∠ecd=∠eac3分
（2）作df⊥bc於點f.
在rt△cdb中，
在rt△cdf中，
∴ 在rt△dfp中，
∵∴∽ ∴
∴.5分
8、（東城）21．如圖，在△abc中，ab＝ac，ae是角平分線，bm平分∠abc交ae於點m，經過b，m兩點的⊙o交bc於點g，交ab於點f，fb恰為⊙o的直徑．
（1）判斷ae與⊙o的位置關係，並說明理由；
（2）當bc＝4，ac＝3ce時，求⊙o的半徑．
21．解：（1）與相切．………… 1分
理由如下：
鏈結，則．∴∠omb=∠obm．
∵平分，∴∠obm=∠ebm．
∴∠omb=∠ebm．
∴． ∴．[**:j,.
在中，，是角平分線，
∴．∴．
∴．∴．
∴與相切． 2分
（2）在中，，是角平分線，
∴∴．在中，，
設的半徑為，則．
∵，∴．
．．．∴的半徑為． 5分
9、（海淀）21． 如圖，ab為⊙o直徑，c、d為⊙o上不同於a、b的兩點，∠abd=2∠bac ，連線cd. 過點c作ce⊥db，垂足為e，直線ab與ce相交於f點.
（1）求證：cf為⊙o的切線；
（2）當bf=5,時，求bd的長.
21． 證明：（1）連線.
∵,∴.又∵∴
又∵，∴……………………1分
∴oc∥db.
∵ce⊥db，
∴.又∵為⊙的半徑，
∴為⊙o的切線2分
（2）鏈結.
在rt△bef中，∠bef=90°, bf=5,，
3分∵oc∥be,
∴∽.∴設⊙的半徑為r,∴4分
∵ab為⊙o直徑，
∴.∴.
∵,∴. ∴ ∴
5分10、（石景山）21．如圖，在△中，，以為直徑的⊙交於點，是的中點．
（1）求證：直線與⊙相切；
（2）鏈結並延長交⊙於點、
交的延長線於點，鏈結,
若=，,
求的長.
21．解：（1）證明：鏈結、.
⊙的直徑，.則.
，..
,,,直線與⊙相切2分
（2）解：鏈結
是直徑，
△∽△5分11、（豐台）如圖，點d為⊙o上一點，點c在直徑ba的延長線上，且．
（1）求證：是⊙o的切線；
（2）過點b作⊙o的切線交cd於點e，bc＝12，
tan＝. 求be的長．
21．（1）證明：連od，oe，如圖1分
∵ab為直徑，∴，即，…… 2分
又∵，而，
∴，∴，即，
∴cd是⊙o的切線3分
（2）解：∵eb為的切線，
∴ ob⊥be，ed＝eb，oe⊥bd．
∴，∴．
而tan＝，∴tan＝，
∵rt△cdo∽△cbe4分
∴，在rt△cbe中，設be＝x，∴，解得．
即be的長為55分
12、（大興）已知：如圖，ab是⊙o的直徑，⊙o過bc的中點d，且de⊥ac於點e.
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