定義4 △內的根稱為素根。據（b1），card△=l ，且（b2）中的β的表示式是唯一的。這使得我們能定義根（關於△的）高為
若所有的kα≥0（或所有的kα≤0），就稱β為正根（或負根）。且記為 d（關於△的）正根與負根的集合通常記為φ+或φ-（-φ+=φ-顯然），素根是正根，因為素根α=α，係數為1，全正，α∈△。
引理1 若α是正根但不是素根，則有某個β∈△，使α-β是乙個根（必定是正根）。
引理2 設α是素根，則σα把異於α的正根作一置換。
以下給出三個定理的詳細證明。
定理1的證明：由於β是正根但不是素根，根據引理1，存在某個α∈△，使β-α是乙個正根。又由基定義中（b2）有
（αi∈△並且不必各不相同）。這樣有
（αi∈△這裡αi不必各不相同），即定理前面部分是成立的。
下面證明定理後面部分，即每乙個部分和α1+α2+...+αi是乙個根。對htβ施行歸納法來證明：
htβ=1時，β=α1是乙個根命題成立。假如對所有htβ事實上，由β=α1+...+αk-1+αk，β∈φ+但不是素根，由引理1，存在αi∈△，使β-αi∈φ+。
再由前段所證明的，β-αi∈φ+也可以寫成α1+...+αs的形式，也即是說β-αi=α1+...+αs，由基定義中（b2），β的表示式是唯一的（因為kα全為正或全為負，故不存在加一項再減一項與原來相等的不同表示式）。
移項後得到
即是說由唯一性可知，αi是α1，α2，...，αk中的乙個，故
顯然ht（β-αi）定理2的證明：由於是可逆線性變換，有
因為α∈△，α是素根並且是正根，由引理2得到，
又因為σα（α）=-α，得到
其中α是素根並且是正根，再得到
證畢。定理3的證明：σt=σ1σ2...
σt，由t的最小性導致σ1，σ2，...，σt各不相同（因為反射如果有兩個相同，則σi2（αt）=αt）。反射σα是可逆線性變換，由得到σα（α）=-α，這樣可以得到
又因為αt是素根並且是正根，由引理2，可以得到-σα1σα2...
σ其中為正根，。即是說為負根，也即，證畢。
[1]孟道驥.復半單李代數引論[m].北京大學出版社，1998.
[2]蘇育才等.有限維半單李代數簡明教程[m].科學出版社，2008.
[3]漢弗萊斯.李代數及其表示理論導引.上海科技出版社，1981.
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