乙個化學平衡問題的數學證明及啟示（留缺）
趙尚雄（永昌縣第一高階中學甘肅永昌 737200）
［問題］在一定溫度下，可變容積的容器中發生反應a（g）＋3b（g）2c（g），達到平衡後，b在混合物中所佔的體積分數為m% 。保持溫度不變，增大壓強，平衡向方向移動，重新達到平衡後，b在混合物中的體積分數為n% ，則m n（填<、=或》）。
答案：正方向；> 。
一般同學解答此題時的思路是：「該反應中，正反應是氣體物質的量減小的反應，依據勒沙特列原理，增大壓強時平衡應向正反應方向移動；重新平衡後，因為b的物質的量減小，故b在混合物中的物質的量分數減小，也就是b在混合物中的體積分數減小，故m>n 。」
該思路中得出m>n的思維漏洞是很明顯的，因為平衡正移時反應物物質的量固然減小，但混合氣體總物質的量也在減小，反應物的體積分數就一定減小嗎？不少教師也知道推理過程不嚴密，但因為結論正確，所以就不予深究。而且，許多化學教師還直接向學生灌輸乙個結論：
「對於氣體物質的量減小的反應，通過改變壓強或溫度使平衡向正反應方向移動時，反應物在混合物中的體積分數減小。」 我以為這種說法是不科學的。其實，只要把這個化學問題轉化為數學問題，就很容易證明這個化學結論的正誤。
［證明］設在原平衡狀態時，上述反應中a、b、c的物質的量分別是a、b、c，改變壓強至達新平衡又消耗a的物質的量為x 。則：
a（g）＋3b（g）2c（g） b的體積分數
原平衡時 a bcm%=
變化量 x 3x 2x
新平衡時 a-x b-3x c+2x n%=
比較m%與n%的大小可用多種方法。
方法一：應用函式的單調性證明。將m%和n%的表示式概括為乙個函式式y=，其分子和分母都大於0；其中y表示b的體積分數，a、b、c都為正數（常數），x為變數且03x 。
為簡明起見，令d=a+b+c且也為常數，則函式式為 y=，變形得y=
可見此函式為減函式，即x=0時y最大，也即m>n 。
用求導數的方法證明上述函式為減函式更簡單，讀者不妨一試。
方法二：應用不等式的性質和假設法證明。
假設m>n成立，則》 ，其中a、b、c都為正數，每個分式的分子和分母都是大於0的。化簡得3a+b+3c>0，此式恆成立。故假設成立。
經過以上數學證明，得到結論：「對於反應a（g）＋3b（g）2c（g），由於改變壓強或溫度而使平衡向正反應方向移動時，反應物b在混合氣體中的體積分數減小。」
這是否意味著，對於所有氣體物質的量減小的反應，通過改變壓強或溫度使平衡向正反應方向移動時，混合氣體中每種反應物的體積分數總是減小呢？答案是否定的。
我們可以來看看上述問題中反應物a的體積分數的變化：
原平衡時a的體積分數a%= ，新平衡時a的體積分數a『%＝。假設a%>a『%成立，則》 ，化簡得aa『%；當a>b+c時，a%［啟示］把上述反應普遍化為反應aa（g）＋bb（g）cc（g）＋dd(g) (a、b、c、d為計量數，且a+b>c+d )，然後討論改變壓強或溫度使平衡正向（或逆向）移動時，某一反應物或生成物的體積分數的變化情況，會發現許多新的問題和結論。本文不再展開討論，有興趣的讀者，請你一定自己試一試。
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