很早，人們就注意到任何乙個分數可以寫成有限個分子為1的互異分數之和，而它的證明方法只要用逐次用比它小的分子為1的分數中最大者去逼近。2023年，e.p.
starke提出結論「乙個分母是奇數的分數可以寫成有限個分子是1的分數之和」。但上面的證明方法卻不適用於這個看起來有點類似的問題，robert breusch給出了一種巧妙的方法證明了該結論,見文[1]。另一種更常見的方法也見文[2]。
注意到「分母為奇數」並非本質條件，在這兩個相似問題的啟發下，我們試著提出：
命題（1）：對任意自然數n0，設p1，p2……pn0是任意n0個素數，那麼對任何分母不含素因子p1，p2……pn0的分數可以寫成有限個分母不含素因子p1，p2……pn0且分子為1的互異分數之和。
為了方便，以後我們稱，分子為1的分數為單位分數。
假設命題（1）成立，那麼對分母為1時的分數，即自然數，當然也有：
命題（2）：設p1，p2……pn0是n0個素數，那麼任何自然數均可表示為分母不含p1，p2……pn0素因子的互異單位分數之和。
假設命題（2）成立，那麼對任何分母不含素因子p1，p2……pn0的分數，把它的分子分解為分母不含p1，p2……pn0素因子的互異單位分數之和，然後將其中每個單位分數除以原分數的分數，於是分數就有了乙個有限分解，它的每項是分母不含p1，p2……pn0素因子的單位分數，且各項互異。因此，我們得到命題（1）與命題（2）等價。
命題（2）蘊含：
命題（3）：對任何自然數m0，若q1，q2……，qm0是連續m0個素數，q1=2，則任意自然數均可表示為有限個分母不含素因子q1，q2……，qm0的互異單位分數之和。
反之，若命題（3）成立，則對任給n0個素數p1，p2……pn0，則存在m0，使q1（=2），q2……，qm0是連續的m0個素數，且。於是由命題（3），任意自然數可表示為有限個分母不含素因子的互異單位分數之和。亦即命題（2）與命題（3）等價。
於是只需證明命題（3）。
為方便起見，假定qi為第i個素數。
首先，我們證明：
引理1：取si=2i(q1-1) (q2-1) ……(qm0-1) (qm0+2-1)，i=1,2,……，
m=max，則分數（其中）可以表示為分母不含素因子q1，q2……，qm0，qm0＋2的互異單位分數之和。
證明：由fermat小定理，(qmo+1)qj-1≡1(modqj),j=1,2,…,m0,m0+2.故-(qmo+1) si+1=2(modqj),j=1,2,…,m0,m0+2。
且由si為偶數，而qm0+1為奇數（因僅q1為偶數，但qm0＋1>q1）, qm0+1si＋1≡2（mod4）。故對任何i，1≤i≤，
不含素因子q1，q2……，qm0，qm0+2。
於是右邊兩個分數的分母不含素因子q1，q2……，qm0，qm0＋2
對於1≤j≤，
對於1≤j≤，
可以看出分解式中各分數分母是互異的，而且不含素因子q1，q2……，qm0，qm0+2。這就證明了引理1。
引理2：設qt0是出現在乘積中最大的素因子。
則對任何的自然數n，存在素數qt0+r使得
證明：由發散知，有自然數r使
故設自然數u滿足。記集合。r=1，2…
有了上面的準備，我們來證明命題3。
定理：對任何自然數m0，q1（＝2），q2，……，qm0是連續m0個自然數，則任意自然數均可表示為有限個分母不含素因子q1，q2……，qm0的互異單位分數之和。
證明：首先由引理2。對任何自然數n，存在素數qt0+r，使
若左邊等式成立，則結論已成立。否則，只需證明：
對分數它可以表示為分母的所有素因子屬於sr的互異單位分數之和，而且其中每個單位分數與中每個單位分數互異。
我們使用歸納法。對r進行歸納。
當r＝1時，
即，將a作關於qm0+2進製分解
， 於是
由於，於是由引理1，均能表示為分母不含素因子q1，q2……，qm0，qm0+2的互異單位分數之和。而當時，項與項分解式中單位分數的分母含qm0+2素因子的冪次不同，故它們互異，且它的分母的所有素因子屬於s1。而且由於其中分數每個分母含因子qm0+2，故它與t中每個單位分數互異。
假設對r=k，結論成立。且其中每個單位分數分母至少含中含素因子之一。那麼對於r=k+1，
對a作關於qt0+k+1的帶餘除法，
由知，。
於是由於數不含素因子，故（）
。於是有或，而到必有一素數，故。加之
於是對i=1，2，
於是由歸納假設知，它們均可分解為分母不含素因子的互異單位分數之和，而且第二部分單位分數分母中素因子全部屬於sk，而第一部分單位分數分母中素因子則含有因子qt0+k+1，且分母中全部素因子屬於sk+1。而且其中每個單位分數分母均含中素因子之一，故它們與t中單位分數互異。於是定理證畢。
[1]robert breusch,a special case of egyptian fractions, solution to advanced problem 4512,amer.math.monthly,61(1954) 200-201.
[2]b.m.stewart, sums of distinct divisors,amer.j.math.,76(1954) 779-785;mr16,336.
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