——談2014 年高考數學廣東卷（理科）第19題
廣東省惠州市黃岡中學惠州學校 （516003） 朱傳兵
陝西師範大學數學與資訊科學學院 （710062） 羅增儒
（2023年發表於《中學數學研究》（華南師範大學）第4期（上半月） issn 1671—4164）
把數列的通項公式與它的前項和組合在一起是高考命題的乙個興奮中心，由此出發，求數列的通項公式、證明數列恒等式或數列不等式是一類基本題型；而通過數列公式消除條件與結論的差異，然後用遞推或數學歸納法求解則是處理此類題型的乙個基本思路．但是，遞推關係是在的前提下成立的，具體演算中很容易在這個地方出現疏漏（參見文[1]），下面我們通過一道2014 年高考數列題來說明隱蔽的疏漏與完整的解法．
題目 （2014 年高考數學廣東卷（理科）第19題）設數列的前和為，滿足
，，且．
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求數列的通項公式．
本題的思維強度在第(ⅱ)問，對此，已出現數學歸納法的「失誤解法」．本文首先剖析「失誤解法」的知識缺失或邏輯漏洞，然後提供糾正方法（包括第一數學歸納法、第二數學歸納法、蹺蹺板數學歸納法、交叉消去法、直接遞推和反證法等），藉以深化遞推關係（）和數學歸納法的認識．
1 隱蔽的漏洞
就我們所見（包括網上），主要有兩個漏洞，分別表現在誤解1與誤解2中．
1-1 誤解1的呈現與剖析
1-1-1 誤解1的呈現
誤解1 ：(ⅰ)對已知式取，有，則．
又，得，且．
又，得，．
綜上知，，．
(ⅱ)由(ⅰ)猜想，下面用數學歸納法證明．
（1）當時，，結論顯然成立．
（2）假設當（）時，，則由已知有
，相減得即，
故當時，結論成立．
由（1）、（2）知，，．
1-1-2 誤解1的剖析
（1）錯誤的內容：問題在於①、②式是在的前提下成立的，因而數學歸納法第二步遞推的有效性也是在的前提下才能提供，但本解法第一步只驗證了正確，未驗證正確，因而③式的運算缺乏遞推的正確性基礎．這裡的錯誤是缺失數學歸納法的第一步，其現今的第一步其實是虛假或被截斷的．
（2）錯誤的性質：首先是「知識性錯誤」，即方法的使用不正確，不完整．其次有心理性錯誤，即「潛在假設」數學歸納法第一步都從開始．其實，本例用到的數列公式，是在的前提下成立的，所以數學歸納法要從開始．如果是多邊形問題用數學歸納法，還要從三角形（即）開始．一般地，關於正整數的命題定義在的話（相當於的定義域），數學歸納法第一步要從開始．
（3）錯誤的解決：雖然解法有錯誤，但合理成分很多，完善的辦法不止乙個：其一是分兩類解決，第一類證明時命題成立，直接驗證；第二類證明時命題成立，用數學歸納法；總體上是完全歸納法，核心工作是數學歸納法（參見解法1）．其二是先驗證對成立的遞推式③，在時也成立，然後用數學歸納法（參見解法2
1-2 誤解2的呈現與剖析
1-2-1 誤解2的呈現
誤解2：(ⅰ) 對已知式取，分別有
， ，
變形為前三項求和並把代入，得
兩邊約去15，由③解得，代入①、②得，．
(ⅱ)由(ⅰ)猜想，下面用數學歸納法證明．
（1）當時，，結論顯然成立．
（2）假設當（）時，，則
， ④又所以
移項 ，
除以，得
故當時，結論成立．
由（1）、（2）知，，．
1-2-2 誤解2的剖析
（1）錯誤的內容：由於這個解法沒有用到，所以，數學歸納法從開始並無不可，問題在於④式（進而⑤式）是在為等差數列、其通項公式為（）的前提下得出的，而數學歸納法進行到「首項為，末項假設」時，尚未全部得出，，…，，因而④式用等差數列的求和公式來計算有問題，⑤式作為④式的移項變形也就推不出來．
（2）錯誤的性質：主要是「邏輯性錯誤」，即把要證的「等差數列通項」（結論）又作為論據來使用了（迴圈論證）．知識上可能是把第二數學歸納法與第一數學歸納法混同了．
（3）錯誤的解決：雖然解法有錯誤，但合理成分很多，完善的辦法不止乙個，其一是改用第二數學歸納法（參見解法3）；其二是把與一齊證，用蹺蹺板數學歸納法（參見解法4）．
1-3 對數學歸納法認識的必要提醒
這兩個有漏洞解法分別涉及數學歸納法的第一步和第二步，可能不是筆誤而是對「隱蔽的漏洞」認識不清，所以，有必要對數學歸納法作出三點提醒．（參見文[2]）
設是關於正整數的命題．
（1）數學歸納法所說的是無窮個命題，…，…恒為真．這是乙個以數量…為自變數，而以命題真值為因變數的「命題值函式」．在這裡，「物件的無限性」和「命題值函式」都會帶來接受上的困難和使用中的誤解．
（2）為了說明無窮個「命題值函式」恒為真，逐一檢驗，…，…會有困難，於是，數學歸納法提供了乙個全新的證明模式，分為兩步；
第一步（遞推的基礎），證明乙個「真實的命題」：真．它的功能是解決「命題的真實性」，並為遞推提供真實性的基礎．
第二步（遞推的根據），證明乙個「有效的推理」：．它的功能是解決「傳遞的有效性」，從而把第一步的「真實性」有效傳遞下去．但這一步很容易誤解為「證明的真實性」，因而也就搞不清楚，為什麼需要證實的結論「真」可以作為證明「真」的前提來使用．其實，這一步真正有用的不是這個結論，而是推理過程本身，即前一號命題與後一號命題是否存在「蘊涵關係」．這事實上又包含了乙個著眼點的轉移，即由證「真」轉移到證乙個「蘊涵關係」．在這裡，對數學歸納法第二步的真實作用不夠明確、所需要的邏輯知識不完全具備就會帶來接受上的困難和使用中的誤解．
（3）有了數學歸納法的兩步之後，我們就建立起了這樣乙個推理格式；
真且．進而，推理反覆進行，得到乙個真值的傳遞關係（遞推的過程）：
所以，數學歸納法是乙個無窮遞推過程，但是在具體使用中，人們並不總是停留於具體的過程，而是把它看成一種十分明確的證明方法，動態的過程表現為靜態的描述：完成第
一、第二步，則無窮個命題，……恒為真．我們對數學歸納法既要掌握兩步驟靜態格式，又要理解反覆使用遞推格式的動態過程．
2 完整的解法
數學歸納法有很多變化形式（參見文[3]），下面的九種解法只不過是數學歸納法多種表現形式的一部分．
2-1 用第一數學歸納法
中學教材介紹的數學歸納法就是第一數學歸納法，它的基本格式是：若（1）真；（2）假設真真；則對一切正整數真．
解法1：(ⅰ)對已知式，取，計及，有
， ，
得三元線性方程組
解得（高中的概念、初中的解法），從而，．
(ⅱ)由(ⅰ)中 ，，猜想．
首先驗證時，，結論成立；對用數學歸納法證明．
（1）當時，由，結論成立．
（2）假設當（）時，有．對時由已知有
， 相減得即，
故當時，結論成立．
由數學歸納法知，時，．
綜上得，數列的通項公式為，．
說明1：有的地方把，都放到了數學歸納法的第（1）步，此處我們把與分開，是避免與「跳躍式數學歸納法」混同，跳躍式數學歸納法的基本格式是：若（1）真；（2）假設真真；則對一切正整數真．
說明2：雖然遞推式①（或②）是在的前提下推出的（對可能成立也可能不成立），但如果先驗證遞推式③對也成立，那麼，數學歸納法就可以從開始．請看
解法2：(ⅰ)（過程略）得，，．
(ⅱ)由(ⅰ)猜想．首先證明數列的乙個遞推式
把，代入知，當時結論成立．
當時，由已知有
， 相減得 ，
變形得 （）．
綜上得，④式對成立．
下面用數學歸納法證明．
（1）由，知時結論成立．
（2）假設當（）時，有，由④式有
，故當時，結論成立．
由數學歸納法知，數列的通項公式為，．
說明3：有了④式，數學歸納法也可以改寫為交叉消去法（參見解法5）、直接遞推（參見解法7）和反證法（參見解法9）．
2-2 用第二數學歸納法
第二數學歸納法是第一數學歸納法的變形，中學教材沒有介紹，但數學競賽會用到，它的基本格式是：若（1）真；（2）假設真真；則對一切正整數真．
解法3：(ⅰ)對已知式取，分別有
對第⑥式加上，並把代入，得
，解得．把代入⑥，併聯立⑤、⑥得
，解得，．
(ⅱ) 由(ⅰ)中 ，，猜想．下面用第二數學歸納法證明．
（1）當時，，結論成立．
（2）假設當（）時，結論成立，即有
，，…，，，
求和 ，
但已知 ，
所以解得 ，
故當時，結論成立．
由數學歸納法知，數列的通項公式為，．
2-3 用蹺蹺板數學歸納法
蹺蹺板數學歸納法是第一數學歸納法的變形，它的基本格式是：設有兩個關於正整數的命題，若（1），真；（2）假設，真真，且，真真；則對一切正整數真．
解法4：(ⅰ) （過程略）得，，．
(ⅱ)由(ⅰ)猜想，，下面用數學歸納法證明．
（1）當時，，，結論成立．
（2）假設當（）時，有，成立，則由已知
有解得 ，
進而，故當時，結論成立．
由數學歸納法知，，有，．
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