什麼叫一般問題特殊化法? 選取符合題意的特殊值、特殊向量、特殊數列、特殊方程、不等式或函式、特殊點和特殊圖形,代入或者對比選項來確定答案。這種方法叫做一般問題特殊化法,或叫特值代驗法,是一種使用頻率很高的方法。
下面就幾類題型來說明它的獨到之處。
(1)特殊值
1.在abc中,角a.b.c所對的邊分別為a.b.c,如果a.b.c成等差數列,則
解法一:取特殊值a=3, b=4, c=5 ,則cosa=cosc=0, .
解法二:取特殊角a=b=c=600 cosa=cosc=,.
2.求值
分析:題目中「求值」二字提供了這樣資訊:答案為一定值,於是不妨令,得結果為。
(2)特殊向量
3.(2023年東城一模4)已知平面上不重合的四點,,,滿足,
且,那麼實數的值為( b )(a) (b) (c) (d)
注:提供三種方法給大家。
解法1:(向量加法的幾何意義)
故=3.
解法2:(特殊化思想方法)畫圖以p為座標原點,建立平面直角座標系,並令,
,故。然後求出的座標(-3,0)及的座標(-1,0)。
解法3:畫三個向量,相互間的夾角為120度。
4.(2023年西城二模理)設為單位向量,的夾角為,則的最大值為___ __.答案:。
5.(2023年海淀期中文12)在矩形中, 且點分別是邊的中點,則答案:。
(3)特殊數列
6.在各項均為正數的等比數列中,若,則( b ) a、12 b、10 c、8 d、
解:方法1(小題巧做):取乙個滿足條件的特殊數列即可。
方法2(小題小做):由知原式=
方法3(小題大做):由條件有,從而
所以原式=。
7.已知等差數列的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比數列,則的值是解:可令an=n滿足題設條件,於是=。
8. (2023年豐台一模4)設等差數列的公差≠0,.若是與的等比中項,則( c )
(a) 3或-1b) 3或1c) 3d) 1
提示:取d=1.
(4)特殊位置
9.過拋物線的焦點作一條直線交拋物線於,則為a)4 (b)-4cd)
特例法:當直線垂直於軸時,。
注意:先分別求出用推理的方法,既繁且容易出錯。
10.橢圓+=1的焦點為f1、f2,點p為其上的動點,當∠f1pf2為鈍角時,點p橫座標的取值範圍是
解:設p(x,y),則當∠f1pf2=90°時,點p的軌跡方程為x2+y2=5,由此可得點p的橫座標x=±,又當點p在x軸上時,∠f1pf2=0;點p在y軸上時,∠f1pf2為鈍角,由此可得點p橫座標的取值範圍是-(5)特殊點
11.(2023年西城一模7)已知曲線及兩點和,其中.過,分別作軸的垂線,交曲線於,兩點,直線與軸交於點,那麼( a )
(a)成等差數列b)成等比數列
(c)成等差數列d)成等比數列
溫馨提醒:解法1(特殊化思想方法)取,,求出、的座標(1,1)、。
則直線的方程為,令y=0,求得,故選a。
解法2:通過證兩三角形相似得到的關係。
(6)特殊方程、不等式或函式
12過拋物線的焦點f作一直線交拋物線交於p、q兩點,若線段pf、fq的長分別為p、q,則
解:設k = 0,因拋物線焦點座標為把直線方程代入拋物線方程得,∴,從而。
13.若是直角三角形的三邊的長(為斜邊),則圓被直線
所截得的弦長為答案:.
方法一:取,確定一條唯一的直線方程後再具體計算。
方法二:直接計算。注意到:。
14.(2023年海淀一模12)已知平面區域,在區域內任取一點,則取到的點位於直線()下方的概率為答案:。
解:取,易得到正確答案。
15.橢圓的兩焦點座標分別為和,且橢圓過點.(1)求橢圓方程;(2)過點作不與軸垂直的直線交該橢圓於、兩點,為橢圓的左頂點,試判斷的大小是否為定值,並說明理由.
解:(1)(過程略)
(2)設直線的方程為:,
聯立直線和曲線的方程可得:得
設,,。
則, 則
即可得溫馨提醒:此題當m=0時,得:、。
所以,,。易知,
這樣用特殊情況可以先求得最後的結論,做到心中有數,下面的證明就有了目標及解題方向。
16.(2023年海淀二模7)若橢圓:()和橢圓:()的焦點相同且.給出如下四個結論:①橢圓和橢圓一定沒有公共點
其中,所有正確結論的序號是( b )
a.②③④ b. ①③④ c.①②④ d. ①②③
分析:取。
17.(2023年朝陽一模7)如圖,雙曲線的中心在
座標原點, 分別是雙曲線虛軸的上、下
頂點,是雙曲線的左頂點,為雙曲線的左焦
點,直線與相交於點.若雙曲線的離心率
為2,則的余弦值是( c )
(ab)
(cd)
提示:設。=。的值易求。
18. (2023年豐台二模7)已知直線l: (a,b不全為0),兩點,,若,且,則( )
(a)直線l與直線p1p2不相交b)直線l與線段p2 p1的延長線相交
(c)直線l與線段p1 p2的延長線相交 (d)直線l與線段p1p2相交
分析:本題就是考查線性規劃問題。關鍵是1)的含義:點在直線的同側;2)的含義:點到直線的距離的大小關係。
小題巧做:設直線l:,點。畫圖易知答案c。
19.如果函式f(x)=x2+bx+c對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t),那麼f(1),f(2),f(4)的大小關係是
解:由於f(2+t)=f(2-t),故知f(x)的對稱軸是x=2。可取特殊函式f(x)=(x-2)2,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。
∴f(2) 在數學學習的過程中,對公式 定理 法則的學習往往都是從特殊開始,通過總結歸納得出來的,經過證明後,成為一般性結論,又使用它們來解決相關的數學問題。在數學中經常使用的歸納法 演繹法就是特殊與一般思想的集中體現。由特殊到一般 由一般到特殊的過程是認識事物的基本過程,數學也不例外。所謂特殊與一般的思想包括... 高中數學思想專題講座 特殊與一般的思想方法 特殊與一般的思想是中學數學的重要思想之一,有些特殊問題的解決,需要我們通過一般性規律的研究來處理 而對於具有一般性的問題,我們也常通過考察其特殊情況 如特殊圖形 特殊位置 特殊取值等 揭示其一般規律.這種特殊與一般的辯證思想往往貫穿於整個解題過程之中.通過... 第十九講特殊化與一般化 特殊化的方法就是在求解一般數學命題的解答時,從考慮一組給定的物件轉向考慮其中的部分物件或僅僅乙個物件 也就是為了解答一般問題,先求解特例,然後應用特殊的方法或結論再來求解一般問題 另外,特殊化 一般化和模擬聯想結合起來,更可以由此及彼地發現新命題 開拓新天地 1 特殊化 一般...模擬,轉化,從特殊到一般的思想方法
高中數學思想專題講座 特殊與一般的思想方法
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