第十九講特殊化與一般化
特殊化的方法就是在求解一般數學命題的解答時，從考慮一組給定的物件轉向考慮其中的部分物件或僅僅乙個物件．也就是為了解答一般問題，先求解特例，然後應用特殊的方法或結論再來求解一般問題．
另外，特殊化、一般化和模擬聯想結合起來，更可以由此及彼地發現新命題、開拓新天地．
1．特殊化、一般化和模擬推廣
命題1 在△abc中，∠c=90°，cd是斜邊上的高(圖2-102)，則有cd2=ad·bd．
這是大家所熟知的直角三角形射影定理．
模擬命題1，如果cd是斜邊上的中線，將怎樣？由此得到命題2．
命題2 在△abc中，∠c=90°， cd是斜邊上的中線(圖2-103)，則有cd=ad=bd．
這便是大家已經學過的直角三角形中的斜邊中點定理(在此定理中仍保持cd2=ad·bd)．
再模擬，如果cd是∠c的平分線，將怎樣？於是得到命題3．
命題3 在△abc中，∠c=90°，cd是∠c的平分線(圖2-104)，則有
這是乙個新命題，證明如下.
引de⊥bc於e，df⊥ac於f．
因為所以我們把命題1、命題2、命題3一般化，考慮d點是ab上任一點，便產生了以下兩個命題．
命題4 在△abc中，∠c=90°，d是斜邊ab上的任一內分點(圖2-105)，則有
證引df⊥ac於f，de⊥bc於e．因為
cd2-bd2＝ce2-be2=(ce-be)bc，
而 所以
所以即 命題5 在△abc中，∠c=90°，d是斜邊ab上的任一外分點(圖2—106)，則有
證只要令命題4之結論中ad為-ad，則有
我們再把命題4和命題5特殊化，令d點與a點重合(即│ad│=0)，那麼無論是①式或②式都有
ab2=bc2+ac2.
這就是我們熟知的勾股定理．
命題4或命題5與通常形式下的廣勾股定理是等效的，因此，它們也可稱作廣勾股定理．下面用命題4或命題5來證明以下定理．
定理在△abc中，ab=c，bc=a，ac=b，a在c上的射影為n，
時，取「-」號，∠b為鈍角時，取「＋」號)．
證我們僅利用命題4證圖2-107中的情況(∠b＜90°)．
為此，我們作圖2-109，其中∠dba=90°，cd=x，ce⊥db於e，並設ce=n．由命題4，立得
得所以b2=a2+c2-2cn．
同理可證圖2-108(∠b＞90°)的相應結論．
2．特殊化、一般化在解題中的應用
例1 設x，y，z，w為四個互不相等的實數，並且
求證：x2y2z2w2=1
分析與解我們先考慮乙個特例，只取兩個不同實數，簡化原來命
(1)求證這個特殊化的輔助問題就容易多了．事實上，因為
又因為到原命題，由
容易想到變形
去分母變形為
並約去(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)(利用x，y，z，w互不相等)就得到
x2y2z2w2=1.
例2 設凸四邊形o1o2o3o4的周長為l，以頂點o1，o2，o3，o4為圓心作四個半徑為r的圓輪．如果帶動四個圓輪轉動的皮帶長為s，求s的長度(圖2-110)．
解(1)先解乙個特例(圖2-111)．設只有兩個圓輪⊙o1，⊙o2，2│o1o2│=l＇．顯然，帶動兩輪轉動的皮帶長度為
s=l＇+2πr．
(2)再回到原題，我們猜想：
s=l＋2πr．
以下證實這個猜想是正確的．
為此，設皮帶s與各圓輪接觸的四個弧為
由於它們是等圓上的弧，因此，只要證出這四條弧恰好組成乙個圓即可．
事實上，引o1a＇3∥o2a3，由於o1a1∥o2a2，所以∠a1o1a＇ o1為圓心，以r為半徑的圓．因此，四圓弧之長為2πr．又因為o1o2=a1a2，o2o3=a3a4，o3o4=a5a6，o1o4=a7a8，所以
l＝a1a2＋a3a4＋a5a6＋a7a8．
所以，所求皮帶長為
s=l＋2πr．
例3 設a1，a2，…，an都是正數．試證：
證欲證①成立，先考慮最簡單的情形，設n=3，即證
把②變形為
即證由於④中左邊有(a1-a2)，(a2-a3)，(a3-a1)，其和為零，因此，我們猜想：若④式左邊相加，其和不小於(a1-a2)，(a2-a3)，(a3-a1)之和即可．為此，我們證更簡單的事實．
設a，b是任意正整數，則有
事實上，由(a-b)2≥0有
a2-ab≥ab-b2，
根據⑤，④顯然成立，因為
≥(a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a1)≥0，
從而③式成立，②式成立．
剩下來的工作是把②式推到一般情形①，這是很容易的．因為根據⑤，①式必然成立，因為
練習十九
1．如圖2-112．已知由平行四邊形abcd各頂點向形外一條直線l作垂線，設垂足分別為a＇，b＇，c＇，d＇．求證：
＇a＋b＇b=c＇c＋d＇d．
2．在上題中，如果移動直線l，使它與四邊形abcd的位置關係相對變動得更特殊一些(如l過a，或l交ab，bc等)，那麼，相應地結論會有什麼變化？試作出你的猜想和證明．
3．在題1中，如果考慮直線l和平行四邊形更一般的關係(如平行四邊形變成圓，或某一中心對稱圖形，垂線aa＇，bb＇，cc＇，dd＇只保持平行等)，那麼又有什麼結論，試作出你的猜想和證明．
4．如果△abc的周長為40公尺(m)，以a，b，c三點為圓心，作三個半徑為1公尺的圓輪，帶動圓輪轉動的皮帶長為l，試求l的長度．
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