立體幾何中的軌跡問題
在立體幾何中，某些點、線、麵依一定的規則運動，構成各式各樣的軌跡，探求空間軌跡與求平面軌跡類似，應注意幾何條件，善於基本軌跡轉化．對於較為複雜的軌跡，常常要分段考慮，注意特定情況下的動點的位置，然後對任意情形加以分析判定，也可轉化為平面問題．對每一道軌跡命題必須特別注意軌跡的純粹性與完備性．
立體幾何中的最值問題一般是指有關距離的最值、角的最值或面積的最值的問題．其一般方法有：
1、 幾何法：通過證明或幾何作圖，確定圖形中取得最值的特殊位置，再計算它的值；
2、 代數方法：分析給定圖形中的數量關係，選取適當的自變數及目標函式，確定函式解析式，利用函式的單調性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．
軌跡問題
【例1】 如圖，在正四稜錐s－abcd中，e是bc的中點，p點在側面△scd內及其邊界上運動，並且總是保持peac．則動點p的軌跡與△scd組成的相關圖形最有可能的是
解析：如圖，分別取cd、sc的中點f、g，鏈結ef、eg、fg、bd．設ac與bd的交點為o，鏈結so，則動點p的軌跡是△scd的中位線fg．由正四稜錐可得sb⊥ac，ef⊥ac．又∵eg∥sb
∴eg⊥ac
∴ac⊥平面efg，
∵p∈fg，e∈平面efg，
∴ac⊥pe．
另解：本題可用排除法快速求解．b中p在d點這個特殊位置，顯然不滿足peac；c中p點所在的軌跡與cd平行，它與cf成角，顯然不滿足peac；d於中p點所在的軌跡與cd平行，它與cf所成的角為銳角，顯然也不滿足peac．
評析：動點軌跡問題是較為新穎的一種創新命題形式，它重點體現了在解析幾何與立體幾何的知識交匯處設計圖形．不但考查了立體幾何點線面之間的位置關係，而且又能巧妙地考查求軌跡的基本方法，是表現最為活躍的一種創新題型．這類立體幾何中的相關軌跡問題，如「線線垂直」問題，很在程度上是找與定直線垂直的平面，而平面間的交線往往就是動點軌跡．
【例2】 (1)如圖，在正四稜柱abcd —a1b1c1d1中，e、f、g、h分別是cc1、c1d1、dd1、dc的中點，n是bc的中點，點m在四邊形efgh及其內部運動，則m滿足時，有mn∥平面b1bdd1．
(2) 正方體abcd —a1b1c1d1中，p在側面bcc1b1及其邊界上運動，且總保持ap⊥bd1，則動點p的軌跡是線段b1c ．
(3) 正方體abcd —a1b1c1d1中，e、f分別是稜a1b1，bc 上的動點，且a1e=bf，p為ef的中點，則點p的軌跡是線段mn(m、n分別為前右兩面的中心)．
(4) 已知正方體abcd —a1b1c1d1的稜長為1，在正方體的側面bcc1b1上到點a距離為的點的集合形成一條曲線，那麼這條曲線的形狀是 ，它的長度是 ．
若將「在正方體的側面bcc1b1上到點a距離為的點的集合」改為「在正方體表面上與點a距離為的點的集合」 那麼這條曲線的形狀又是 ，它的長度又是 ．
【例3】 (1)(04北京)在正方體abcd-a1b1c1d1中，p是側面bb1c1c內一動點，若p到直線bc與直線c1d1的距離相等，則動點p的軌跡所在的曲線是 ( d )
a． a直線 b．圓 c．雙曲線 d．拋物線
變式：若將「p到直線bc與直線c1d1的距離相等」改為「p到直線bc與直線c1d1的距離之比為1：2(或2：1)」， 則動點p的軌跡所在的曲線是橢圓 (雙曲線)．
(2)(06北京)平面α的斜線ab交α於點b，過定點a的動直線l與ab垂直，且交α於點c，則動點c的軌跡是 (a )
a．一條直線 b．乙個圓 c．乙個橢圓 d．雙曲線的一支
解：設l與l 是其中的兩條任意的直線，則這兩條直線確定乙個平面，且斜線ab垂直這個平面，由過平面外一點有且只有乙個平面與已知直線垂直可知過定點a與ab垂直所有直線都在這個平面內，故動點c都在這個平面與平面α的交線上，故選a．
(3)已知正方體abcd —a1b1c1d1的稜長為1，m在稜ab上，且am=，點p到直線a1d1的距離與點p到點m的距離的平方差為1，則點p的軌跡為拋物線 ．
(4)已知正方體abcd —a1b1c1d1的稜長為3，長為2的線段mn點乙個端點m在dd1上運動，另乙個端點n在底面abcd上運動，則mn的中點p的軌跡與正方體的面所圍成的幾何體的體積為 ．
【例4】 (04重慶)若三稜錐a-bcd的側面abc內一動點p到底面bcd的距離與到稜ab的距離相等，則動點p的軌跡與△abc組成圖形可能是：( d )
【例5】 四稜錐p-abcd，ad⊥面pab，bc⊥面pab，底面abcd為梯形，ad=4，bc=8，ab=6，∠apd=∠cpb，滿足上述條件的四稜錐的頂點p的軌跡是
a．圓 b．不完整的圓 c．拋物線 d．拋物線的一部分
分析：∵ad⊥面pab，bc⊥平面pab
∴ad∥bc且ad⊥pa，cb⊥pb
∵∠apd=∠cpb
∴tanapd=tancpb
∴=∴pb=2pa
在平面apb內，以ab的中點為原點，ab所在直線為x軸建立平面直角座標系，則a(-3，0)、b(3，0)，設p(x，y)(y≠0)，則(x-3)2+y2=4[(x+3)2+y2](y≠0)
即(x+5)2+y2=16(y≠0)
∴p的軌跡是(b)
立體幾何中的軌跡問題（教師版）
1．在正方體abcd-a1b1c1d1的側面ab1內有一點p到直線ab與到直線b1c1的距離相等，則動點p所在曲線的形狀為（d）．
a．線段 b．一段橢圓弧 c．雙曲線的一部分 d．拋物線的一部分
簡析本題主要考查點到直線距離的概念，線面垂直及拋物線的定義．因為b1c1面ab1，所以pb1就是p到直線b1c1的距離，故由拋物線的定義知：動點的軌跡為拋物線的一段，從而選d．
2．在正方體abcd-a1b1c1d1的側面ab1內有一點p到直線ab的距離與到直線b1c1的距離之比為2：1，則動點p所在曲線的形狀為（b）．
a．線段 b．一段橢圓弧 c．雙曲線的一部分 d．拋物線的一部分
3．在正方體abcd-a1b1c1d1的側面ab1內有一點p到直線ab的距離與到直線b1c1的距離之比為1：2，則動點p所在曲線的形狀為（c）．
a．線段 b．一段橢圓弧 c．雙曲線的一部分 d．拋物線的一部分
4．在正方體abcd-a1b1c1d1中，e為aa1的中點，點p在其對角面bb1d1d內運動，若ep總與直線ac成等角，則點p的軌跡有可能是（a）．
a．圓或圓的一部分 b．拋物線或其一部分 c．雙曲線或其一部分 d．橢圓或其一部分
簡析由條件易知：ac是平面bb1d1d的法向量，所以ep與直線ac成等角，得到ep與平面bb1d1d所成的角都相等，故點p的軌跡有可能是圓或圓的一部分．
5．已知正方體的稜長為a，定點m在稜ab上（但不在端點a，b上），點p是平面abcd內的動點，且點p到直線的距離與點p到點m的距離的平方差為a2，則點p的軌跡所在曲線為（a）．
a．拋物線 b．雙曲線 c．直線d．圓
簡析在正方體中，過p作pfad，過f作fea1d1，垂足分別為f、e，鏈結pe．則pe2=a2+pf2，又pe2-pm2=a2，所以pm2=pf2，從而pm＝pf，故點p到直線ad與到點m的距離相等，故點p的軌跡是以m為焦點，ad為準線的拋物線．
6．在正方體中，點p在側面bcc1b1及其邊界上運動，總有apbd1，則動點p的軌跡為
簡析在解題中，我們要找到運動變化中的不變因素，通常將動點聚焦到某乙個平面．易證bd1面acb1，所以滿足bd1ap的所有點p都在乙個平面acb1上．而已知條件中的點p是在側面bcc1b1及其邊界上運動，因此，符合條件的點p在平面acb1與平面bcc1b1交線上，故所求的軌跡為線段b1c．本題的解題基本思路是：利用公升維，化「動」為「靜」，即先找出所有點的軌跡，然後縮小到符合條件的點的軌跡．
7．在正四稜錐s-abcd中，e是bc的中點，點p在側面scd內及其邊界上運動，總有peac，則動點p的軌跡為
答案線段mn（m、n分別為sc、cd的中點）
8．若a、b為平面的兩個定點，點p在外，pb，動點c（不同於a、b）在內，且pcac，則動點c在平面內的軌跡是除去兩點的圓）
9．若三稜錐a—bcd的側面abc內一動點p到底面bcd的距離與到稜ab的距離相等，則動點p的軌跡與abc組成的圖形可能是：（d）
簡析動點p在側面abc內，若點p到ab的距離等於到稜bc的距離，則點p在的內角平分線上．現在p到平面bcd的距離等於到稜ab的距離，而p到稜bc的距離大於p到底面bcd的距離，於是，p到稜ab的距離小於p到稜bc的距離，故動點p只能在的內角平分線與ab之間的區域內．只能選d．
10．已知p是正四面體s-abc的面sbc上一點，p到面abc的距離與到點s的距離相等，則動點p的軌跡所在的曲線是（b）．
a．圓b．橢圓 c．雙曲線 d．拋物線
解題的要領就是化空間問題為平面問題，把一些重要元素集中在某乙個平面內，利
用相關的知識去解答，象平面幾何知識、解析幾何知識等．
11．已知正方體的稜長為1，在正方體的側面上到點a距離為的點的軌跡形成一條曲線，那麼這條曲線的形狀是它的長度為
簡析以b為圓心，半徑為且圓心角為的圓弧，長度為．
12．已知長方體中，，**段bd、上各有一點p、q，pq上有一點m，且，則m點軌跡圖形的面積是 ．
提示軌跡的圖形是乙個平行四邊形．
13．已知稜長為3的正方體中，長為2的線段mn的乙個端點在上運動，另乙個端點n在底面abcd上運動，求mn中點p的軌跡與正方體的面所圍成的幾何體的體積．
簡析由於m、n都是運動的，所以求的軌跡必須化「動」為「靜」，結合動點p的幾何性質，鏈結dp，因為mn=2，所以pd=1，因此點p的軌跡是乙個以d為球心，1為半徑的球面在正方體內的部分，所以點p的軌跡與正方體的表面所圍成的幾何體的體積為球的體積的，即．
立體幾何講義總結
第一節1.平面 2 空間直線.1.空間直線位置分三種 相交 平行 異面.2，三公理 判斷直線是否在平面內判定兩個平面是否相交的依據確定乙個平面的依據 3.空間線面的位置關係 共面平行 沒有公共點 1 直線與直線相交 有且只有乙個公共點 異面 既不平行，又不相交 直線在平面內 有無數個公共點 2 直線...
立體幾何中的平行問題總結
1.空間兩直線的位置關係 1 相交 有且只有乙個公共點 2 平行 在同一平面內，沒有公共點 3 異面 不在任何乙個平面內，沒有公共點 2.平行直線 1 公理4 平行於同一條直線的兩條直線互相平行 推理模式 說明 1 公理4表述的性質叫做空間平行線的傳遞性 2 幾何學中，通常用互相平行的直線表示空間裡...
立體幾何中的成角問題 說課稿
今天我將要為大家介紹的課題是 立體幾何中的成角問題 首先，我先對本節課的內容作一下簡單的介紹。教學目的 1 複習線線成角 線面成角 麵麵成角的概念 2 理解求各種角的基本解題思想和方法 3 能綜合運用空間各種角的概念及相關知識熟練的解題 教學重點 1 線線成角 線面成角 麵麵成角的概念和求法 2 三...