構造差函式強化恆成立
函式中常會碰到兩個函式在某個區間（或整個定義域）內乙個函式值恆大於或小於另乙個函式值問題，即對於區間上的函式，，對於任意，恆成立．現結合具體例題為同學們介紹構造差函式的方法．
例1 設函式，在區間上可導，且，則當時，有（ ）．
ｃ． ｄ．
解析：因為函式，在區間上可導，則函式在區間上可導，且由於，則在區間上恆成立，即在上函式是增函式，對於任意有（同時），故，所以，選（c）．
同理可得．
點評：本題並沒有過多地考慮，在某具體點處的函式值的大小問題，而是從構造差函式入手，研究新函式的單調性，利用差函式的導數，簡捷得到相應的結論．
例2 已知函式．求證：在區間上，函式的圖象在函式圖象的下方．
解析：建構函式，即，則．
因為，所以，故函式在區間上是減函式，注意到，所以在區間上恆成立（恆成立），故函式的圖象總在函式圖象的下方．
請用上述思想，試解下列三道習題：
1．設是銳角三角形的兩個內角，求證．
提示：可證，由的單調性（求導數），只需證，即即可，這由題設三角形為銳角三角形易知．
2．當時，證明：．
提示：利用導數，，則，，，是增函式；同理，建構函式，，由得是增函式；而時，，由單調性知，時，．
3．已知函式，，若對任意的都有，求實數的取值範圍．
提示：建構函式，即，對任意的都有，則在上恆成立，只要在上恆成立，．
由，解得或，
若顯然，．
若，，即，解得，則．
特別地，當時，也滿足題意．
綜上，實數的取值範圍是．
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