第二章函式
第一節函式的單調性
a組1．(2023年高考福建卷改編)下列函式f(x)中，滿足「對任意x1，x2∈(0，＋∞)，當x1f(x2)」的是________．
①f(x)＝ ②f(x)＝(x－1)2 ③f(x)＝ex ④f(x)＝ln(x＋1)
解析：∵對任意的x1，x2∈(0，＋∞)，當x1f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上為減函式．答案：①
2．函式f(x)(x∈r)的圖象如右圖所示，則函式g(x)＝f(logax)(0解析：∵0由0≤logax≤ ≤x≤1.答案：[，1](或(，1))
3．已知函式f(x)＝|ex＋|(a∈r)在區間[0,1]上單調遞增，則實數a的取值範圍__．
解析：當a<0，且ex＋≥0時，只需滿足e0＋≥0即可，則－1≤a<0；當a＝0時，f(x)＝|ex|＝ex符合題意；當a>0時，f(x)＝ex＋，則滿足f′(x)＝ex－≥0在x∈[0,1]上恆成立．只需滿足a≤(e2x)min成立即可，故a≤1，綜上－1≤a≤1.
答案：－1≤a≤1
4．(原創題)如果對於函式f(x)定義域內任意的x，都有f(x)≥m(m為常數)，稱m為f(x)的下界，下界m中的最大值叫做f(x)的下確界，下列函式中，有下確界的所有函式是________．
①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝ex；④f(x)＝
解析：∵sinx≥－1，∴f(x)＝sinx的下確界為－1，即f(x)＝sinx是有下確界的函式；∵f(x)＝lgx的值域為(－∞，＋∞)，∴f(x)＝lgx沒有下確界；∴f(x)＝ex的值域為(0，＋∞)，∴f(x)＝ex的下確界為0，即f(x)＝ex是有下確界的函式；
∵f(x)＝的下確界為－1.∴f(x)＝是有下確界的函式．答案：①③④
b組1．(2023年山東東營模擬)下列函式中，單調增區間是(－∞，0]的是________．
①y＝－ ②y＝－(x－1) ③y＝x2－2 ④y＝－|x|
解析：由函式y＝－|x|的圖象可知其增區間為(－∞，0]．答案：④
2．若函式f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在區間[2，＋∞)上是增函式，則實數a的取值範圍是________．
解析：令g(x)＝x2－ax＋3a，由題知g(x)在[2，＋∞)上是增函式，且g(2)>0.
∴∴－43．若函式f(x)＝x＋(a>0)在(，＋∞)上是單調增函式，則實數a的取值範圍__．
解析：∵f(x)＝x＋(a>0)在(，＋∞)上為增函式，∴≤，0答案：(0，]
4．(2023年高考陝西卷改編)定義在r上的偶函式f(x)，對任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，則下列結論正確的是________．
①f(3)③f(－2)解析：由已知<0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上單調遞減，由偶函式性質得f(2)＝f(－2)，即f(3)5．(2023年陝西西安模擬)已知函式f(x)＝滿足對任意x1≠x2，都有<0成立，則a的取值範圍是________．
解析：由題意知，f(x)為減函式，所以解得06．(2023年寧夏石嘴山模擬)函式f(x)的圖象是如下圖所示的折線段oab，點a的座標為(1,2)，點b的座標為(3,0)，定義函式g(x)＝f(x)·(x－1)，則函式g(x)的最大值為________．
解析：g(x)＝
當0≤x<1時，最大值為0；當1≤x≤3時，
在x＝2取得最大值1.答案：1
7．(2023年安徽合肥模擬)已知定義域在[－1,1]上的函式y＝f(x)的值域為[－2,0]，則函式y＝f(cos)的值域是________．
解析：∵cos∈[－1,1]，函式y＝f(x)的值域為[－2,0]，∴y＝f(cos)的值域為[－2,0]．答案：[－2,0]
8．已知f(x)＝log3x＋2，x∈[1,9]，則函式y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是________．
解析：∵函式y＝[f(x)]2＋f(x2)的定義域為
∴x∈[1,3]，令log3x＝t，t∈[0,1]，
∴y＝(t＋2)2＋2t＋2＝(t＋3)2－3，∴當t＝1時，ymax＝13.答案：13
9．若函式f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在區間(0，)內恒有f(x)>0，則f(x)的單調遞增區間為
解析：令μ＝2x2＋x，當x∈(0，)時，μ∈(0,1)，而此時f(x)>0恆成立，∴0μ＝2(x＋)2－，則減區間為(－∞，－)．而必然有2x2＋x>0，即x>0或x<－.∴f(x)的單調遞增區間為(－∞，－)．答案：
(－∞，－)
10．(2023年廣西河池模擬)已知定義在區間(0，＋∞)上的函式f(x)滿足f()＝f(x1)－f(x2)，且當x>1時，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.
解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，則》1，由於當x>1時，f(x)<0，
所以f()<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)所以函式f(x)在區間(0，＋∞)上是單調遞減函式．
(3)由f()＝f(x1)－f(x2)得f()＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.
由於函式f(x)在區間(0，＋∞)上是單調遞減函式，
由f(|x|)9，∴x>9或x<－9.因此不等式的解集為．
11．已知：f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在實數a，b，使f(x)同時滿足下列三個條件：(1)在(0,1]上是減函式，(2)在[1，＋∞)上是增函式，(3)f(x)的最小值是1.
若存在，求出a、b；若不存在，說明理由．
解：∵f(x)在(0,1]上是減函式，[1，＋∞)上是增函式，∴x＝1時，f(x)最小，log3＝1.即a＋b＝2.
設0＜x1＜x2≤1，則f(x1)＞f(x2)．即＞恆成立．
由此得＞0恆成立．
又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恆成立，∴b≥1.
設1≤x3＜x4，則f(x3)＜f(x4)恆成立．∴＜0恆成立．
∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恆成立．∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a＝1.∴存在a、b，使f(x)同時滿足三個條件．
第二節函式的性質
a組1．設偶函式f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上單調遞增，則f(a＋1)與f(b＋2)的大小關係為________．
解析：由f(x)為偶函式，知b＝0，∴f(x)＝loga|x|，又f(x)在(－∞，0)上單調遞增，所以0f(b＋2)．答案：f(a＋1)>f(b＋2)
2．(2023年廣東三校模擬)定義在r上的函式f(x)既是奇函式又是以2為週期的週期函式，則f(1)＋f(4)＋f(7)等於________．
解析：f(x)為奇函式，且x∈r，所以f(0)＝0，由週期為2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：
03．(2023年高考山東卷改編)已知定義在r上的奇函式f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區間[0,2]上是增函式，則f(－25)、f(11)、f(80)的大小關係為________．
解析：因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函式是以8為週期的週期函式，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因為f(x)在r上是奇函式，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因為f(x)在區間[0,2]上是增函式，所以f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即f(－25)答案：f(－25)4．(2023年高考遼寧卷改編)已知偶函式f(x)在區間[0，＋∞)上單調增加，則滿足f(2x－1)解析：
由於f(x)是偶函式，故f(x)＝f(|x|)，由f(|2x－1|)5．(原創題)已知定義在r上的函式f(x)是偶函式，對x∈r，f(2＋x)＝f(2－x)，當f(－3)＝－2時，f(2011)的值為________．
解析：因為定義在r上的函式f(x)是偶函式，所以f(2＋x)＝f(2－x)＝f(x－2)，故函式f(x)是以4為週期的函式，所以f(2011)＝f(3＋502×4)＝f(3)＝f(－3)＝－2.答案：
－2b組1．(2023年高考全國卷ⅰ改編)函式f(x)的定義域為r，若f(x＋1)與f(x－1)都是奇函式，則下列結論正確的是________．
①f(x)是偶函式 ②f(x)是奇函式 ③f(x)＝f(x＋2)
④f(x＋3)是奇函式
解析：∵f(x＋1)與f(x－1)都是奇函式，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，∴函式f(x)關於點(1,0)，及點(－1,0)對稱，函式f(x)是週期t＝2[1－(－1)]＝4的週期函式．∴f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋3)是奇函式．答案：④
高中數學經典例題集
第一部分 一道解析幾何題 本題15分 已知曲線c是到點和到直線 距離相等的點的軌跡，l是過點q 1，0 的直線，m是c上 不在l上 的動點 a b在l上，軸 如圖 求曲線c的方程 求出直線l的方程，使得為常數。解 設為上的點，由題設得 化簡，得曲線的方程為 解法一 設，直線，則 從而 在中，因為 所...
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