一. 如何求函式的偏導數?
偏導數的求解實質是一元函式的求導, 關於某個變數求偏導數, 將這個變數視為真正的變數, 其它變數視為」常數」, 如設, 求時, 將視為變數, 視為」常數」, 關於求導.
二. 求多元復合函式的偏導數, 關鍵是什麼?
對於多元復合函式的求偏導數問題, 關鍵在於分清楚函式之間的復合關係, 弄清那些變數是中間變數, 哪些是最終自變數. 為此可畫出函式關係圖(路徑圖), 使變數之間的關係一目了然, 這樣利用鏈法求偏導數時不至於遺漏.
三. 重積分和定積分有何關係?
重積分概念是定積分概念的推廣和發展. 定積分概念中討論的是一元函式, 而二,三重積分中討論的分別是二,三元函式. 將定積分的被積函式推廣為二元函式或三元函式, 將積分區間上長度元素推廣為平面區域的面積元素或空間立體的體積元素, 就得到了二重積分或三重積分的概念.
重積分與定積分在定義的結構形式上完全一致, 他們都是」和式的極限」.
四. 計算重積分, 關鍵是什麼?
計算重積分, 關鍵在於如何選擇適當的座標系及如何選擇積分次序.
對於二重積分, 當積分區域為圓域,圓環域或扇形時, 常用極座標系; 其它情形常用直角座標系.
對於三重積分, 當積分區域為球形區域或環形區域與圓錐所圍時, 常用球面座標系; 當積分區域在某座標面上投影為圓時, 常用柱面座標系.
選擇積分次序時, 對於極座標系,球座標系,柱座標系一般相對固定, 而直角座標系一般是變化的. 選擇積分次序的原則有兩個, 其一是能夠計算出重積分值, 其二是計算量盡可能少(如盡可能不分割積分區域進行積分).
另外, 計算重積分時, 要充分利用積分區域的對稱性和被積函式的奇偶性, 簡化定積分的計算.
五. 第一類曲線積分計算的本質是什麼? 應注意什麼問題?
第一類曲線積分計算的本質是將曲線積分化為定積分. 將曲線積分化為定積分時, 應注意兩點:
1. 根據所給的曲線, 選擇適當的參變數作為積分變數, 以便簡化計算.
2. 確定定積分的上,下限時, 要注意上限一定大於下限.
六. 格林公式有什麼作用? 應用時應注意什麼問題?
對於第二類積分曲線, 當積分曲線為封閉曲線, 或者積分曲線雖不是封閉曲線, 但添補一直線段能成為封閉曲線的, 常用格林公式計算. 這樣計算往往可以達到簡化計算的目的.
應用格林公式時, 應注意以下兩點:
1. 為封閉的正向閉曲線.
2. 在上有一階連續偏導數.
七. 第一類曲面積分計算的本質是什麼? 應注意什麼問題?
第一類曲面積分計算的本質是將曲面積分化為二重積分. 將曲面積分化為二重積分時,應注意兩點:
1. 曲面的方程必須時單值函式, 否則應將按單值分支的圖形分片計算.
2. 將曲面向某座標投影時, 投影後的積分區域計算要簡便.
八. 為什麼要將函式展成冪級數?
多項式是最簡單的非週期函式類, 若乙個函式可以展開為冪級數, 則在展開式的收斂區間內可以用它的部分和多項式來近似原來較複雜的函式, 這在理論和應用上都具有重要意義.
九. 為什麼要將函式展開成傅利葉級數?
週期函式反映了客觀世界中的週期運動. 為了深入研究週期函式, 有時需要將它展開成由最簡單的週期函式三角函式組成的級數, 即展開成傅利葉級數. 從工程技術的角度講, 就是把乙個複雜的週期運動分解成許多不同頻率的簡諧振動的疊加來研究.
一十. 如何用微分方程解決實際問題?
在建立微分方程時, 首先要從具體問題出發, 分析什麼是未知量, 什麼是已知量, 然後去尋求未知變數的導數(或微分)與未知變數及已知量的關係, 建立微分方程. 再由題意確定定解條件, 求出方程的特解, 從而得到實際問題的答案.
例題解析
一. 假設與均為二階可導函式, , 試求所滿足的不含和的二階微分方程.
解:由此得:
故有:二. 設是可微函式, 且滿足:
求及的表示式.
解:用替換, 得
由兩邊對求導, 得
由得即 三. 設四邊形各邊長一定, 分別為, 問何時四邊形面積最大?
解: 如下圖所示, 設四角為,
於是四邊形面積
其中滿足:
令 由得 由可得:
即或 (捨去)
故 由此可知
由實際問題可知確有最大值, 故當四邊形的兩角之和為時,最大.
四. 設, 試證明不等式:
證明:因被積函式是萊布尼茲級數,故有
由於因此五.設曲線是球面與平面的交線, 試求.
解: 由對稱性得
易知是乙個圓(如下圖所示), 其內接正三角形的邊長為, 可求得對應圓的半徑
故六. 在時到時的什麼時間內, 乙個時鐘的分針恰好與時針重合?
解: 將圓周角等份, 設每份為個單位, 又設 (分鐘)時刻分針和時針分別位於和處. 由於初始時間為時, 而分針與時針的速度分別為 (單位/分鐘)與 (單位/分鐘), 故有
解得令, 得
(分鐘)
分秒故分針恰好與時針重合的時間約為分秒.
七. 判別級數是否收斂? 若收斂, 是絕對收斂還是條件收斂?
解:易知單調減少且, 故級數收斂(萊布尼茲判別法).
又 且發散, 因此發散.
因此原級數條件收斂.
思考題1. 設變換可把方程:簡化為, 求常數 (設具有連續二階偏導數). 答案:
2. 求在上有連續二階導數,且二元函式滿足, 求在上的最大值.
答案:3. 設在上連續, 且設, 求.
答案:4. 設是正的連續函式, 證明.
5. 求在內具有一階連續導數,是上半平面()內的有向光滑曲線, 其起點為 , 終點為, 設
(1) 證明曲線積分與路徑無關.
(2) 當時, 求值答案:
6. 設流體的流速, 為半球面, 求流體流向外側的流量答案:
7. 求級數的和答案:
8. 設正項數列單調減少, 且發散, 證明級數收斂.
9. 設, 其中為連續函式, 求.
答案:10. 乙個半球體狀的雪堆, 其體積融化的速率與半球面面積成正比, 比率常數, 假設在融化過程中雪堆始終保持半球形狀, 已知半徑為的雪堆在開始融化的小時內, 融化了其體積的, 問雪堆全部融化要多少小時?
答案:小時
用導數求函式的單調性
南江縣第四中學何其孝指導老師 範永德 一 第一段 點明課題 展示目標 自主學習 1 展示學習目標 1 理解時，在附近單調性 2 掌握用導數求函式的單調區間。2 板書課題 用導數求函式的單調性 3 學生圍繞學習目標看教材第89 93頁，進行自主學習。約10分鐘 二 第二段 合作 啟發點撥 1 1 怎樣...
第9招如何求函式值
求函式值是高考中較常考的知識點，一般以選擇題形式出現.解法指導與經典範例 求函式的問題看似簡單，但在高考中許多試題都會觸及.常見題型有以下幾種.一 函式解析式是y f x 的形式，要求f a 的值 這時只須把自變數的值代入函式解析式，通過運算即可求得函式值.注意 已知f a 的值，要求f a 的值時...
常數函式與冪函式的導數
1.2.1常數函式與冪函式的導數 課前案一 學習目標 1，知識與技能 能由定義求導數的三個步驟推導常數函式與冪函式的導數,2，過程與方法 在學習過程中，注意培養學生歸納 探求規律的能力 3 情感態度價值觀 學生通過用定義求導數的三個步驟，推到常數函式和冪函式的導數，主動參與，師生合作，提高學生的學習...