一、學習目標：
1. 了解多邊形的有關概念，了解多邊形的內角和與外角和；
2. 知道什麼樣的圖形可以鑲嵌平面，能進行簡單的鑲嵌設計．
二、重點、難點：
重點：多邊形的內角和公式與外角和．
難點：多邊形能覆蓋平面需要滿足的條件．
三、考點分析：
本講內容在中考試卷中多以填空題、選擇題的形式出現，屬基本內容，主要考點有兩個：
1. 多邊形的邊數與角度的換算，對角線的條數和邊數之間的關係；
2. 用一種或幾種正多邊形鑲嵌成乙個平面，進行簡單的鑲嵌設計．
1. 多邊形的有關概念
（1）在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．
（2）連線多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．
（3）各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．
2. 多邊形的內角和與外角和
（1）n邊形的內角和等於（n－2）·180°．
（2）n邊形的外角和等於360°．
3. 鑲嵌
（1）用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）．
（2）一般地，多邊形能覆蓋平面需要滿足兩個條件：①拼接在同乙個點的各個角的和恰好等於360°（周角）；②相鄰的多邊形有公共邊．
知識點一：多邊形及其內角和
例1. 乙個十二邊形有幾條對角線？
思路分析：
題意分析：本題考查多邊形的邊數和對角線條數之間的關係．
解題思路：過十二邊形的任意乙個頂點可以畫9條對角線，但每條對角線在每個頂點都重複計算了一次，所以實際對角線的條數應該為12×9÷2＝54（條）．
解答過程：十二邊形的對角線共有54條．
解題後的思考：對於乙個n邊形的對角線的條數，我們可以總結出規律，共有條，牢記這個公式，以後只要用相應的n的值代入即可求出對角線的條數．
例2. 已知乙個多邊形的內角和與外角和之比為7∶2，求這個多邊形的邊數．
思路分析：
題意分析：本題考查多邊形內角和公式的應用及外角和．
解題思路：由於多邊形的外角和與邊數無關，為360°，故此題只要根據7∶2的關係列出方程，解方程即可．
解答過程：設這個多邊形的邊數為n．
根據題意，得＝．
解得，n＝9．
解題後的思考：此類問題多是通過等量關係建立方程來求邊數．
例3. 正五邊形的乙個內角的度數是
思路分析：
題意分析：本題考查正多邊形的性質和多邊形的內角和公式．
解題思路：根據題意得正五邊形的每個內角的度數為＝108°．
解答過程：108°
解題後的思考：n邊形的內角和公式為（n－2）·180°，正多邊形的每個內角都相等，如果設其內角為x°，則5x＝（5－2）×180，可解得x＝108．或利用外角和列方程：180－x＝360÷5．
例4. 如圖所示，求∠a＋∠b＋∠c＋∠d＋∠e＋∠f的度數．
思路分析：
題意分析：這個多邊形不是我們通常研究的多邊形型別，需先進行轉化，將其變成凸多邊形，再用多邊形的內角和公式求解．
解題思路：要求六個角之和，則需在同乙個多邊形中，故需連線bf將原多邊形轉化為四邊形．
解答過程：連線bf．
因為∠1＝∠c＋∠d，∠1＝∠cbf＋∠dfb，
所以∠c＋∠d＝∠cbf＋∠dfb．
所以∠a＋∠abc＋∠c＋∠d＋∠e＋∠dfe
＝∠a＋∠abc＋∠cbf＋∠dfb＋∠e＋∠dfe
＝∠a＋∠abf＋∠bfe＋∠e
＝360°．
解題後的思考：多邊形問題常通過連線兩點或對角線從而轉化為三角形或四邊形的問題來解決．
例5. 如圖所示，已知在△abc中，∠a＝60°，∠b＝75°，將△abc的一角摺疊，使點c落在△abc內，若∠1＝20°，∠2的度數是多少？這個結論是如何得出來的？
思路分析：
題意分析：可把∠2看作四邊形abed乙個內角的一部分．
解題思路：解本題的基本思路是：在△abc中求出∠c，在△ced中求出∠cde＋∠ced，在四邊形abed中求出∠1＋∠2，進而求出∠2．
解答過程：∠2＝70°．
因為∠a＝60°，∠b＝75°，
所以∠c＝180°－（∠a＋∠b）＝45°．
所以∠cde＋∠ced＝180°－∠c＝135°．
所以∠1＋∠2＝360°－（∠a＋∠b＋∠cde＋∠ced）＝90°．
又因為∠1＝20°，所以∠2＝70°．
解題後的思考：摺疊前後∠c的度數不變，是解此題的關鍵．
例6. 如圖所示，已知六邊形abcdef中，∠a＝∠b＝∠c＝∠d＝∠e＝∠f＝120°，邊長ab＝2cm，bc＝8cm，cd＝11cm，de＝6cm，求這個六邊形的周長是多少？
思路分析：
題意分析：在這個六邊形中，有四條邊長已知，求其周長關鍵是要求出af和ef的長．
解題思路：由題意中各角都為120°，想到它的外角為60°，如果延長各邊，能得到4個等邊三角形，從而求得ef、af的長．
解答過程：向兩邊分別延長ab、cd、ef，如圖所示，得△pqr．
因為∠paf＝180°－∠baf＝180°－120°＝60°，
同理∠afp＝60°，所以∠p＝60°．
所以∠p＝∠paf＝∠afp．
所以△paf為等邊三角形．
同理△bcq、△der均為等邊三角形．
所以△pqr也為等邊三角形．
所以cq＝bq＝bc＝8（cm），dr＝er＝de＝6（cm）．
所以qr＝8＋11＋6＝25（cm），
af＝pa＝pq－ab－bq＝25－2－8＝15（cm），
ef＝pr－pf－er＝25－15－6＝4（cm）．
所以六邊形abcdef的周長為2＋8＋11＋6＋4＋15＝46（cm）．
解題後的思考：當題中涉及到120°、60°、45°、30°等特殊角時，應想到把它們轉到特殊三角形中，如等邊三角形、直角三角形等．本題就是把af和ef轉化成等邊三角形的邊，利用等邊三角形的性質來求解的．
小結：有關多邊形的問題，常考查對角線的條數，多邊形的內角和，外角和等知識，熟記其中蘊含的規律性的東西，遇到這些問題時就能迎刃而解．
知識點二：平面鑲嵌
例7. 如果限定用一種正多邊形鑲嵌，在下面的正多邊形中，不能鑲嵌成乙個平面的是（ ）
a. 正三角形
b. 正方形
c. 正六邊形
d. 正八邊形
思路分析：
題意分析：本題考查用同種正多邊形鑲嵌平面．
解題思路：當正多邊形的乙個內角的度數是360°的約數時，用這樣的正多邊形能鑲嵌平面．題目中a、b、c項的內角度數均是360°的約數，而只有d項不符合，因為正八邊形每個內角的度數為＝135°，顯然135°不是360°的約數，所以限定用正八邊形這一種正多邊形來鑲嵌，不能鑲嵌成乙個平面，故選d．
解答過程：d
解題後的思考：判斷用同種正多邊形能不能進行鑲嵌時，只需用360°除以這個正多邊形的內角．如果能整除，就能進行平面鑲嵌；如果不能整除，就不能進行平面鑲嵌．
例8. 我們常見到如圖所示圖案的地面，它們分別是全用正方形或全用正六邊形形狀的材料鋪成的，這樣的材料能鋪成平整、無空隙的地面．
（1）你能不能另外想出乙個用一種多邊形（不一定是正多邊形）的材料鋪地的方案？把你想到的方案畫成草圖．
（2）請你再畫出乙個用兩種不同的正多邊形材料鋪地的草圖．
思路分析：
題意分析：這是一道平面鑲嵌的實際應用問題．
解題思路：解答此題時要注意觀察周圍環境中的鑲嵌問題，從中找到靈感，還要進行多次嘗試，善於創新．
解答過程：（1）符合要求的鋪地方案很多，下面提供幾例作為參考．
（2）符合要求的鋪地方案很多，下面提供幾例作為參考．
解題後的思考：在實際生活中，鑲嵌平面時最常用的是四邊形，有時也會用三角形和六邊形，不管用什麼樣的圖形，只要滿足鑲嵌的條件即可．
小結：平面鑲嵌的關鍵是使拼接在同乙個點的各個角的和恰好等於360°．
本講我們探索歸納了幾條規律，正確利用這些規律可大大加快解題速度和準確程度：
1. n邊形的對角線條數：．
2. n邊形的內角和：（n－2）·180°，n邊形的外角和是360°，與邊數無關．
3. 根據鑲嵌的定義可知，用一種相同的多邊形能否鑲嵌平面，關鍵是看這種多邊形的幾個內角之和是否等於360°（或180°），如圖①和②所示；用一種相同的正多邊形能否鑲嵌平面，關鍵是看周角360°能否被正多邊形的乙個內角的度數整除，如圖③④⑤所示．用多種多邊形鑲嵌平面時，如圖⑦⑧⑨所示，要看兩點：a.
拼接在同乙個點的各個角的和恰好等於360°（周角）；b. 相鄰的多邊形有公共邊．
（答題時間：60分鐘）
一、選擇題
1. 乙個多邊形的每個內角都等於120°，這個多邊形的邊數為（ ）條
a. 5 b. 6 c. 7 d. 8
2. 用正四邊形一種圖形進行平面鑲嵌時，它在乙個頂點周圍的正四邊形的個數為（ ）
a. 2個 b. 3個 c. 4個 d. 5個
3. 如果乙個多邊形的每個內角都相等，且內角和為1260°，那麼它的乙個外角為（ ）
a. 30° b. 36° c. 40° d. 45°
4. 多邊形的內角和不可能是（ ）
a. 810° b. 540° c. 1800° d. 180°
5. 如果多邊形的邊數增加1，則多邊形的內角和、外角和分別（ ）
a. 增加180°，增加180° b. 不變，增加180°
c. 不變，不變 d. 增加180°，不變
6. 能夠鋪滿地面的正多邊形組合是（ ）
a. 正八邊形和正方形 b. 正五邊形和正十邊形
c. 正四邊形和正六邊形 d. 正四邊形和正七邊形
*7. 在n邊形一邊上取一點與各頂點相連，可得三角形的個數為（ ）
a. n個 b. （n－2）個 c. （n－1）個 d. （n＋1）個
*8. 過多邊形的乙個頂點的所有對角線把多邊形分成9個三角形，這個多邊形的邊數為（ ）條
a. 9 b. 10 c. 11 d. 12
二、填空題
9. 在正六邊形abcdef中，∠a＝120°，ab＝2cm，則∠dde
10. 乙個正多邊形的每個外角都是72°，則這個多邊形是邊形．
11. n（n為整數，且n≥3）邊形的內角和比（n＋1）邊形的內角和小度．
12. 從n邊形的乙個頂點出發共引出了5條對角線，則這個n邊形是邊形，這5條對角線把n邊形分成了個三角形．
*13. 如果用三種正多邊形地磚鑲嵌地面，乙個頂點處已有乙個正方形和乙個正六邊形地磚，則還需乙個正邊形地磚．
多邊形複習
第9章多邊形總複習 一 知識點 1 三角形 由三條不在同一直線上的線段首尾順次鏈結組成的平面圖形叫做三角形。2 三角形的內角 在三角形中，每兩條邊所組成的角叫做三角形的內角。3 三角形的外角 三角形中內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做三角形的外角。4 三角形的分類 按角分類 三角形 按邊分...
多邊形 複習
例4 己知乙個凸十一邊形由若干個邊長為1的等邊三角形和邊長為1的正方形無重疊，無間隙拼成，求該凸十一邊形的各內角的大小。例5 如圖，b 140,c 150,f 160,並且試求k的值。思路利用題設條件求出的具體值，然後求出k的值。練習 1 如圖，用硬紙片剪乙個長為16cm 寬為12cm的長方形，再沿...
多邊形面積
1 一塊三角形麥地，第遍嘗40公尺，高15公尺。共收小麥360千克，平均每平方公尺收小麥多少千克？2 一塊三角形的廣告板，底26公尺，高7.2公尺，如果要油漆這塊廣告牌，每平方公尺要用油漆0.85千克。至少需要準備多少千克油漆？得數保留整數 3 一堆圓形鋼管堆在一起，它的橫截面形狀成等腰梯形。已知這...