基礎知識
1．斐波那契數列
萊昂納多斐波那契（1175－1250）出生於義大利比薩市，是一名聞名於歐洲的數學家，其主要的著作有《算盤書》、《實用幾何》和《四藝經》等。在2023年斐波那契提出了乙個非常著名的數列，即：
假設一對兔子每隔乙個月生一對一雌一雄的小兔子，每對小兔子在兩個月以後也開始生一對一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初時兔房裡放一對大兔子，問一年以後，兔房內共有多少對兔子？
這就是非常著名的斐波那契數列問題。其實這個問題的解決並不是很困難，可以用表示第個月初時免房裡的免子的對數，則有，第個月初時，免房內的免子可以分為兩部分：一部分是第個月初就已經在免房內的免子，共有對；另一部分是第個月初時新出生的小免子，共有對，於是有。
現在就有了這個問題：這個數列的通項公式如何去求？為了解決這個問題，我們先來看一種求遞迴數列通項公式的求法——特徵根法。
特徵根法：設二階常係數線性齊次遞推式為（），其特徵方程為，其根為特徵根。
（1）若特徵方程有兩個不相等的實根，則其通項公式為（），其中a、b由初始值確定；
（2）若特徵方程有兩個相等的實根，則其通項公式為（），其中a、b由初始值確定。（這個問題的證明我們將在後面的講解中給出）
因此對於斐波那契數列，對應的特徵方程為，其特徵根為：
，所以可設其通項公式為，利用初始條件得，解得
所以。這個數列就是著名的斐波那契數列的通項公式。斐波那契數列有許多生要有趣的性質，如：
它的通項公式是以無理數的形式給出的，但用它計算出的每一項卻都是整數。斐波那契數列在數學競賽的組合數學與數論中有較為廣泛地應用。為了方便大家學習這一數列，我們給出以下性質：
（請同學們自己證明）
（1）斐波那契數列的前項和；
（2）；
（3）（）；
（4）（）；
（5）（）；
2．分群數列
將給定的乙個數列{}：按照一定的規則依順序用括號將它分組，則可以得到以組為單位的序列。如在上述數列中，我們將作為第一組，將作為第二組，將作為第三組，……依次類推，第組有個元素，即可得到以組為單位的序列我們通常稱此數列為分群數列。
一般地，數列{}的分群數列用如下的形式表示其中第1個括號稱為第1群，第2個括號稱為第2群，第3個括號稱為第3群，……，第個括號稱為第群，而數列{}稱為這個分群數列的原數列。如果某乙個元素在分群數列的第個群中，且從第個括號的左端起是第個，則稱這個元素為第群中的第個元素。
值得注意的是乙個數列可以得到不同的分群數列。如對數列{}分群，還可以得到下面的分群數列：
第個群中有個元素的分群數列為
第個群中有個元素的分群數列為等等。
3．週期數列
對於數列{}，如果存在乙個常數，使得對任意的正整數恒有成立，則稱數列{}是從第項起的週期為t的週期數列。若，則稱數列{}為純週期數列，若，則稱數列{}為混週期數列，t的最小值稱為最小正週期，簡稱週期。
週期數列主要有以下性質：
（1）週期數列是無窮數列，其值域是有限集；
（2）週期數列必有最小正週期（這一點與週期函式不同）；
（3）如果t是數列{}的週期，則對於任意的，也是數列{}的週期；
（4）如果t是數列{}的最小正週期，m是數列{}的任一週期，則必有t|m，即m=（）；
（5）已知數列{}滿足（為常數），分別為{}的前項的和與積，若，則，；
（6）設數列{}是整數數列，是某個取定大於1的自然數，若是除以後的餘數，即，且，則稱數列是{}關於的模數列，記作。若模數列是週期的，則稱{}是關於模的週期數列。
（7）任一階齊次線性遞迴數列都是週期數列。
4．階差數列
對於乙個給定的數列{}，把它的連續兩項與的差－記為，得到乙個新數列，把數列稱為是原數列{}的一階差數列；如果，則稱數列是數列的一階差數列，是{}的二階差數列；依次類推，可以得到數列{}的階差數列，其中。
如果某一數列的階差數列是一非零常數列，則稱該數列為階等差數列。其實一階等差數列就是我們通常說的等差數列；高階等差數列是二階或二階以上等差數列的統稱。
高階等差數列具有以下性質：
（1）如果數列{}是階等差數列，則它的一階等差數列是階差數列；
（2）數列{}是階等差數列的充要條件是：數列{}的通項是關於的次多項式；
（3）如果數列{}是階等差數列，則其前項之和是關於的次多項式。
高階等差數列中最常見的問題是求通項公式以及前項和，更深層次的問題2是差分方程的求解。解決問題的基本方法有：
(1)逐差法：其出發點是；
(2)待定係數法：在已知階數的等差數列中，其通項與前n項和sn是確定次數的多項式(關於n的)，先設出多項式的係數，再代入已知條件解方程組即得
(3)裂項相消法：其出發點是an能寫成=f(n+1)－f(n)
(4)化歸法：把高階等差數列的問題轉化為易求的同階等差數列或低階等差數列的問題，達到簡化的目的
設數列{}不是等比數列：若它的一階等差數列是公比不為1的等比數列，則稱它是一階等比數列；若它的一階差數列不是等比數列，而二階差數列是公比不為1的等比數列，則稱這為二階等比數列。一般地說，如果某乙個數列它的階等差數列不是等比數列，而階差數列是公比不為1的等比數列，則稱這個數列為階等比數列，其中。
0階等比數列就是我們通常所說的等比數列，一階及二階以上的等比數列，統稱為高階等比數列。
典例分析
例1．數列的通項公式為，．記，求所有的正整數，使得能被8整除．
（2023年上海競賽試題）
解：記注意到 ，可得
因此，sn+2除以8的餘數，完全由sn+1、sn除以8的餘數確定
，故由(*)式可以算出各項除以8的餘數依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是乙個以6為週期的數列，從而
故當且僅當
例２．設是下述自然數n的個數，n的各位數字之和為，且每位數字只能取1、3或4，求證：是完全平方數，這裡
分析：這道題目的證法很多，下面我們給出借助於斐波那契數列證明的兩種方法。
方法一：利用斐波那契數列作過渡證明。
設，其中且。
假設，刪去時，則當依次取1，3，4時，分別等於，故當時，（1）
作數列：且，
現用數學歸納法證明下述兩式成立：
（2）（3）因為故當時（2）（3）兩式成立。
假設當（）時，（2）（3）兩式成立，由當時，由（1）式、的定義以及歸納假設，知
這樣（2）（3）兩式對於成立。故（2）（3）兩式對於一切自然數成立。，由（2）即可知是完全平方數。
方法二：由的遞推關係式尋求的遞推關係式，從這個遞推關係式對求與斐波那契數列的關係。
設，其中且。
假設，刪去時，則當依次取1，3，4時，分別等於，故當時，
所以令，則當時，有
因為，下用數學歸納法證明，其中是斐波那契數列：且，
當時結論顯然；
設時結論成立，於是
即當時命題成立。
從上述證明可知，對一切正整數，是完全平方數，從而也是完全平方數。
例3．將等差數列{}:中所有能被3或5整除的數刪去後,剩下的數自小到大排成乙個數列{},求的值.（2023年江西省競賽試題）
解:由於,故若是3或5的倍數,當且僅當是3或5的倍數.
現將數軸正向分成一系列長為60的區間段:(0,+?)＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…,注意第乙個區間段中含有{}的項15個,
即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中屬於{}的項8個,為:
於是每個區間段中恰有15個{}的項,8個{}的項,
且有,k∈n,1≤r≤8.由於2006＝8×250+6,而,
所以.例4．將正奇數集合從小到大按第組有個奇數進行分組：，，，……問1991位於第幾組？
解：需要寫出第n組的第1個數與最後乙個數，1991介於其中，而第n組的最後乙個數為。
第n組的第乙個數即第n－1組的最後乙個數後面的奇數，為[2(n－1)2－1]+2=2(n－1)2+1。由題意知2(n－1)2+1，
解得(n－1)2且，從而且，故，即1991位於第32級中。
例5．設等差數列的首項是，公差為，將按第組有個數的法則分組如下：
，，，……，
試問是第幾組的第幾個數？並求出所在那組的各項的和。
解：設位於第組，則前組共有3+6+9+…+3（k－1）=項，
所以即解此方程組得：，
因為且－（，所以。
因此，是第組的第個數，其中。
因為第組是以為首項，為公差的等差數列，所以其所有項的和等於，其中。
例６．設奇數數列：1，3，5，7，9……（1）按2，3，2，3……的個數分群如下：
（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），……（2）
（i）試問數列（1）中的2007是分群數列（2）中的第幾群中的第幾個元素？
（ii）求第個群中的所有的元素之和。
解：（i）將數列（1）重新分群，按每個群含5個元素的方式分群：
（1，3，5，7，9），（11，13，15，17，19），……（3）
由於2007排在（1）中的第1004個，因此2007是分群數列（3）中的第201群中的第4個元素。對照分群數列（2）與（3），容易知道（3）中的第201個群的第4個元素是數列（2）中的第402個群中的第2個元素，所以2007是分群數列（2）中第402群中的第2個元素。
常見特殊數列求和
前n項和公式都是以正整數為自變數的函式，在熟練掌握等差 等比數列求和方法的基礎上，還要會用其他方法求常見特殊數列的和。一 分解法 有些特殊數列可以分解為基本的等差數列或等比數列，再分別求和。例1 求數列，的前n項和。解 這個數列可以分解成乙個等差數列和乙個等比數列之和。1 2 3 n 1 二 錯位相...
特殊數列恒等式的矩陣證明
作者 陳香蘭 新課程 中學 2013年第09期 數列是中學數學中乙個很重要的知識點，等比數列和等差數列是其中最基本的數列。在實際應用中，還存在著各種各樣的無窮數列。其中有一種被稱為斐波那契數 fibonacci sequences 記作fn，由於其本身的特色性，被很多數學家研究。美國數學會還出版了一...
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